《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

13.(例6)由多项式乘法:$(x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b)x+ab$,将该式从右到左使用,即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式:$x^{2}+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).$
[示例]分解因式:$x^{2}+5x+6=x^{2}+(2+3)x+2×3=(x+2)(x+3).$
(1)[尝试]分解因式:$x^{2}+6x+8=(x+2)(x+4);$
(2)[应用]请用上述方法解方程:$x^{2}-3x-4=0.$
解: $\because x^{2}-3 x-4=0$
$\therefore x^{2}+(-4+1) x+(-4) × 1=0$,
$\therefore(x-4)(x+1)=0$,
则 $x+1=0$ 或 $x-4=0$,
解得 $x_{1}=-1, x_{2}=4$.

答案： 解:
(1) 2 4
(2) $\because x^{2}-3 x-4=0$
$\therefore x^{2}+(-4+1) x+(-4) × 1=0$,
$\therefore(x-4)(x+1)=0$,
则 $x+1=0$ 或 $x-4=0$,
解得 $x_{1}=-1, x_{2}=4$.

14.用十字相乘法解方程:
(1)$x^{2}-4x-12=0;$
(2)$x^{2}+x-12=0.$

答案： 解:
(1) $(x+2)(x-6)=0$,
$x+2=0, x-6=0$,
$x_{1}=-2, x_{2}=6$,
(2) $(x-3)(x+4)=0$,
$x-3=0$ 或 $x+4=0$,
$x_{1}=3, x_{2}=-4$.

15.(例7)将4个数a,b,c,d排成2行、2列,两边各加一条竖直线记成$\begin{vmatrix} a&b\\ c&d\end{vmatrix} $,定义$\begin{vmatrix} a&b\\ c&d\end{vmatrix} =ad-bc$,上述记号就叫做2阶行列式.若$\begin{vmatrix} x+1&1-x\\ x-1&x+1\end{vmatrix} =6$,求x的值.

答案： 解: 根据题意简化得
$(x+1)(x+1)-(x-1)(1-x)=6$,
$\therefore x^{2}+2 x+1+x^{2}-2 x+1=6, \therefore 2 x^{2}+2=6$,
解得 $x= \pm \sqrt{2}$.