《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

11. 如图, 在矩形$OABC$中,$OA=3,OC=2$, 点$F$是$AB$上的一个动点($F$不与$A,B$重合), 过点$F$的反比例函数$y=\frac {k}{x}(x＞0)$的图象与边$BC$交于点$E$.
(1) 当$F$为$AB$的中点时, 求该函数的解析式;
(2) 当$k$为何值时,$\triangle EFA$的面积最大? 最大面积是多少?

答案： 解:
(1)$\because$在矩形$OABC$中，$OA=3$，$OC=2$，
$\therefore$点$B(3,2)$。
$\because$点$F$为$AB$的中点，
$\therefore$点$F(3,1)$。
$\because$点$F$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上，
$\therefore k=3$。
$\therefore$该函数的解析式为$y=\frac{3}{x}(x＞0)$。
(2)由题意可知$E$，$F$两点坐标分别为$(\frac{k}{2},2)$，$(3,\frac{k}{3})$。
$\therefore S_{\triangle EFA}=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}k(3-\frac{1}{2}k)=\frac{1}{2}k-\frac{1}{12}k²=-\frac{1}{12}(k²-6k+9-9)=-\frac{1}{12}(k-3)²+\frac{3}{4}$。
$\therefore$当$k=3$时，$S_{\triangle EFA}$有最大值，最大值为$\frac{3}{4}$。