《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

3.如图,在$△ABC$中,$AB=AC$,点E在边BC上移动(点E不与点B,C重合),满足$∠DEF=∠B$,且点D,F分别在边AB,AC上.
(1)求证:$△BDE\backsim △CEF;$
(2)当点E移动到BC的中点时,求证:FE平分$∠DFC.$

答案： 证明:
(1)
∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
∵∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE,∠DEF=∠B,
∴∠BDE=∠CEF,
∴△BDE∽△CEF;
(2)由
(1)知△BDE∽△CEF,
∴$\frac{BE}{CF}$=$\frac{DE}{EF}$,
∵点E是BC的中点，
∴BE=CE.
∴$\frac{CE}{CF}$=$\frac{DE}{EF}$,
　即$\frac{CE}{DE}$=$\frac{CF}{EF}$,
∵∠B=∠C,∠B=∠DEF,
∴∠C=∠DEF;
∴△EDF∽△CEF.
∴∠EFD=∠CFE，即FE平分∠DFC.

4.如图,在$△ABC$中,点D是AB边上的一点.
(1)请用尺规作图法,在$△ABC$内,求作$∠ADE$,使$∠ADE=∠B$,DE交AC于点E;(不要求写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下,若$\frac {AD}{DB}=2$,求$\frac {AE}{EC}$的值.

答案：
解:
(1)如图,∠ADE即为所求;
　　　　　
(2)
∵∠ADE=∠B,
∴DE//BC,
∴$\frac{AE}{EC}$=$\frac{AD}{DB}$=2.