《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1.(例1)如图,在平行四边形ABCD中,过点A作$AE⊥BC$,垂足为E,连接DE,F为线段DE上一点,且$∠AFE=∠B$.
(1)求证:$∠DAF=∠CDE;$
(2)求证:$△ADF\backsim △DEC;$
(3)若$AE=6,AD=8,AB=7$,求AF的长.

答案：
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠ADC,
∵∠AFE=∠B,
∴∠AFE=∠ADC,
∵∠AFE=∠DAF+∠ADF,
　∠ADC=∠CDE+∠ADF,
∴∠DAF+∠ADF=∠CDE+∠ADF,
∴∠DAF=∠CDE;
(2)证明
∵四边形ABCD是平行四边形，∠AFE=∠B,
∴AB//CD,AD//BC,
∴∠ADF=∠CED,∠B+∠C=180°,
　又
∵∠AFE+∠AFD=180°,
∴∠AFD=∠C,
∴△ADF∽△DEC;
(3)解:
∵AE⊥BC,
∴AE⊥AD,
∴DE=√AE²+AD²=√6²+8²=10,
　由
(2)得△ADF∽△DEC,
∵CD=AB=7,
∴$\frac{AF}{CD}$=$\frac{AD}{DE}$,
∴$\frac{AF}{7}$=$\frac{8}{10}$,
∴AF=$\frac{28}{5}$

2.如图,一块直角三角板的直角顶点P放在矩形ABCD的BC边上,并且使一条直角边经过点D,另一条直角边与AB交于点Q.
(1)请写出一对相似三角形,并加以证明;
(2)若$AB=6,BC=8$,当$DP=3PQ$时,求PC的长.

答案： 解:
(1)△BPQ∽△CDP,证明如下:
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°,
∵∠QPD=90°,
∴∠QPB+∠BQP=90°,
　∠QPB+∠DPC=90°,
∴∠BQP=∠DPC且∠B=∠C,
∴△BPQ∽△CDP;
(2)
∵△BPQ∽△CDP,
∴$\frac{PD}{PQ}$=$\frac{CD}{BP}$,且PD=3PQ.
∴CD=3BP,
　又
∵CD=AB=6,
∴BP=2,
∴PC=BC−BP=6.