《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

17.(例12)有一类随机事件概率的计算方法:设试验结果落在某个区域S中的每一点的机会均等,用A表示事件“试验结果落在S中的一个小区域M中”,那么事件A发生的概率$P(A)=\frac{M的面积}{S的面积}$.有一块边长为30cm的正方形ABCD飞镖游戏板,假设飞镖投在游戏板上的每一点的机会均等.
(1)在飞镖游戏板上画有半径为5cm的一个圆(如图①),求飞镖落在圆内的概率;
(2)飞镖在游戏板上的落点记为点O,求△OAB为钝角三角形的概率.

答案：
解:
(1) 半径为 $5cm$ 的圆的面积为 $25\pi cm^{2}$,
边长为 $30cm$ 的正方形 $ABCD$ 的面积为 $900cm^{2}$,
$\therefore P$ (飞镖落在圆内) $=\frac{25\pi}{900}=\frac{\pi}{36}$;
(2) 如图可得, 当点 $O$ 落在以 $AB$ 为直径的半圆内, $\triangle OAB$ 为钝角三角形.
　　　　　
$\therefore S_{半圆}=\frac{1}{2}\cdot\pi\cdot15^{2}=\frac{225}{2}\pi cm^{2}$,
$\therefore P(\triangle OAB$ 为钝角三角形) $=\frac{\frac{225}{2}\pi}{900}=\frac{\pi}{8}$.

18.正方形ABCD的边长为2,以各边为直径在正方形内画半圆,得到如图所示阴影部分,若随机向正方形ABCD内投一粒米,则米粒落在阴影部分的概率为(A)
A.$\frac{\pi - 2}{2}$
B.$\frac{\pi - 2}{4}$
C.$\frac{\pi - 2}{8}$
D.$\frac{\pi - 2}{16}$

答案： A 解析: 正方形的面积为 $2^{2}=4$, 阴影部分的面积为: $8×(\frac{1}{4}×\pi×1^{2}-\frac{1}{2}×1×1)=2(\pi - 2)$,
$\therefore$ 米粒落在阴影部分的概率为 $\frac{2(\pi - 2)}{4}=\frac{\pi - 2}{2}$. 故选 A.