《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

7.将两把含$30^{\circ }$角的大小直角三角尺按如图①所示的位置摆放,即大小直角三角尺的直角顶点C重合,小直角三角尺的顶点D,E分别在大直角三角尺的直角边AC,BC上,且$\frac {AD}{DC}=\frac {1}{2}$.已知$∠A=∠CDE=30^{\circ },AB=12.$
(1)求小直角三角尺的斜边DE的长;
(2)将小直角三角尺绕点C逆时针旋转,当点D第一次落在大直角三角尺的边AB上时(如图②),连接BE,求证:$DE^{2}=BD^{2}+BE^{2}.$

答案： 解:
(1)
∵∠A=∠CDE=30°,
∴DE//AB,
∴△CDE∽△CAB,
∵$\frac{AD}{DC}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{CD}{CA}$=$\frac{DE}{AB}$=$\frac{2}{3}$,
∴DE=$\frac{2}{3}$x12=8;
(2)证明:
∵∠A=30°,∠ACB=90°,
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=6,∠ABC=60°,
∴AC=√AB²−BC²=√12²−6²=6√3,
∴EC=4,DC=4√3;
∴$\frac{AC}{BC}$=$\frac{DC}{EC}$=$\sqrt{3}$,
∵∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE=90°,
∴∠ACD=∠BCE,
∴△ACD∽△BCE,
∴∠CBE=∠A=30°,
∴∠EBD=∠ABC+∠CBE=90°,
∴△BDE是直角三角形，
∴在Rt△BDE中,DE²=BD²+BE².

8.如图,在正方形ABCD中,点F是BC边上一点(F点不与B,C重合),连接AF,以AF为对角线作正方形AEFG,FG与AC交于点H,连接DG.
(1)若$∠BAF=18^{\circ }$,求$∠DAG$的度数;
(2)证明:$△AFC\backsim △AGD;$
(3)若$\frac {BF}{FC}=\frac {1}{2}$,求$\frac {FC}{HF}$的值.

答案： 解:
(1)
∵四边形ABCD,AEFG是正方形，
∴∠BAD=90°,∠FAG=45°,
∴∠DAG=∠BAD−∠BAF−∠FAG=90°−18°−45°=27°;
(2)证明:
∵四边形ABCD,AEFG是正方形，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\frac{AG}{AF}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AG}{AF}$,
∵∠DAG+∠GAC=∠CAF+∠GAC=45°,
∴∠DAG=∠CAF,
∴△AFC∽△AGD;
(3)
∵$\frac{BF}{FC}$=$\frac{1}{2}$,
∴设BF=k,则FC=2k,AB=BC=3k,
∴AF=√AB²+BF²=√(3k)²+k²=√10k,
　AC=√AB²+BC²=3√2k,
∵四边形ABCD,AEFG是正方形，
∴∠AFH=∠ACF=45°,
　又
∵∠CAF=∠FAH,
∴△ACF∽△AFH,
∴$\frac{FC}{HF}$=$\frac{AC}{AF}$=$\frac{3√2k}{\sqrt{10}k}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$