《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

17.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的两边OA,OC分别在x轴和y轴上,且$OA=2,OC=1$.在第一象限内,将矩形OABC以原点O为位似中心放大为原来的2倍,得到矩形$OA_{1}B_{1}C_{1}$,再将矩形$OA_{1}B_{1}C_{1}$以原点O为位似中心放大为原来的2倍,得到矩形$OA_{2}B_{2}C_{2},...$,以此类推,得到的矩形$OA_{n}B_{n}C_{n}$的对角线的交点的坐标为(2ⁿ,2ⁿ⁻¹).

答案： (2ⁿ,2ⁿ⁻¹)

18.如图,以O为位似中心,将边长为256的正方形OABC依次作位似变换,经第一次变化后得正方形$OA_{1}B_{1}C_{1}$,其边长$OA_{1}$缩小为OA的$\frac {1}{2}$,经第二次变化后得正方形$OA_{2}B_{2}C_{2}$,其边长$OA_{2}$缩小为$OA_{1}$的$\frac {1}{2}$,经第三次变化后得正方形$OA_{3}B_{3}C_{3}$,其边长$OA_{3}$缩小为$OA_{2}$的$\frac {1}{2}$,…,依此规律,经第n次变化后,所得正方形$OA_{n}B_{n}C_{n}$的边长为正方形OABC边长的倒数,则$n=$16.

答案： 16

19.如图,在平面直角坐标系中,$△ABC$与$△DOE$是位似图形,$A(0,3),B(-2,0),C(1,0),E(6,0),△ABC$与$△DOE$位似中心是点M.
(1)在图中画出点M;
(2)求出点M的坐标.

答案：
解:
(1)如图,连接DA,并延长交x轴于点M,则点M即为△ABC与△DOE的位似中心;
　　
(2)如图,过点D作DH⊥OE于点H.由题意，得
　BC=3,OE=6,△ABC∽△DOE,
∴△ABC是△DOE的相似比为3:6=1:2,
　易得OH=2OB=4,DH=2OA=6,
∴点D的坐标为(4,6).
　由MO:MH=1:2,MH=MO+4,得
　MO:(MO+4)=1:2,解得MO=4,
　故点M坐标为(−4,0).