《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

24.已知关于x的一元二次方程$x^{2}+(2k+1)x+k^{2}-2=0.$
(1)若该方程有两个实数根,求k的最小整数值;
(2)若方程的两个实数根为$x_{1},x_{2}$,且$(x_{1}-x_{2})^{2}+k^{2}=21$,求k的值.

答案： 解:
(1) 根据题意得
$\Delta=(2 k+1)^{2}-4\left(k^{2}-2\right) \geqslant 0$,
解得 $k \geqslant-\frac{9}{4}$,
$\therefore k$ 的最小整数值为 -2 ;
(2) 根据题意得 $x_{1}+x_{2}=-(2 k+1)$,
$x_{1} x_{2}=k^{2}-2$,
$\because\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+k^{2}=21$,
$\therefore\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-4 x_{1} x_{2}+k^{2}=21$,
$\therefore(2 k+1)^{2}-4\left(k^{2}-2\right)+k^{2}=21$,
整理得 $k^{2}+4 k-12=0$,
解得 $k_{1}=2, k_{2}=-6$,
$\because k \geqslant-\frac{9}{4}$,
$\therefore k$ 的值为 2.

25.已知关于x的方程$x^{2}-(2k+1)x+4(k-\frac {1}{2})=0.$
(1)求证:无论k取何值,这个方程总有实数根;
(2)若等腰$\triangle ABC$的一边长$a=4$,另两边长b,c恰好是这个方程的两个根,求$\triangle ABC$的周长.

答案：
(1) 证明: 方程化为一般形式为
$x^{2}-(2 k+1) x+4 k-2=0$,
$\because \Delta=(2 k+1)^{2}-4(4 k-2)=(2 k-3)^{2}$,
而 $(2 k-3)^{2} \geqslant 0$,
$\therefore \Delta \geqslant 0$,
$\therefore$ 无论 $k$ 取任何实数, 方程总有实数根;
(2) 解: $x^{2}-(2 k+1) x+4 k-2=0$,
整理得 $(x-2)[x-(2 k-1)]=0$,
$\therefore x_{1}=2, x_{2}=2 k-1$,
当 $a=4$ 为等腰 $\triangle A B C$ 的底边, 则有 $b=c$,
$\because b, c$ 恰是这个方程的两根,
$\therefore 2=2 k-1$,
解得 $k=\frac{3}{2}$, 则三角形的三边长分别为 2,2,4,
$2+2=4$, 这不满足三角形三边的关系, 舍去;
当 $a=4$ 为等腰 $\triangle A B C$ 的腰,
$\because b, c$ 恰是这个方程的两根,
$\therefore$ 只能 $2 k-1=4$, 解得 $k=\frac{5}{2}$, 则三角形三边长分别为 2,4,4,
此时三角形的周长为 $2+4+4=10$.
$\therefore \triangle A B C$ 的周长为 10.