《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

19.(例12)如图,$\odot O$中,$\widehat {AB}=\widehat {AC},∠ACB=75^{\circ },BC=2$,则阴影部分的面积是( )

A.$2+\frac {2}{3}π$
B.$2+\sqrt {3}+\frac {2}{3}π$
C.$4+\frac {2}{3}π$
D.$2+\frac {4}{3}π$

答案：
A 解析：连接$$O A $$，$$O B $$，$$O C $$，如图，

$\because \overparen { A B } = \overparen { A C } $$，$$\therefore A B = A C $$，$$\therefore \angle A B C = \angle A C B = 75 ^ { \circ } $$，$$\therefore \angle B A C = 180 ^ { \circ } - 2 \angle A C B = 30 ^ { \circ } $$，$
\therefore \angle B O C = 2 \angle B A C = 60 ^ { \circ } $$，又$$
\because O B = O C $$，
$\therefore \triangle B O C $$ 是等边三角形，$$\therefore O A = O B = B C = 2 $$．过点$$O $$ 作$$O D \perp B C $$ 于点$$D $$，则$$B D = C D $$，$$O D = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } B O = \sqrt { 3 } $$，又$$\because A B = A C $$，$$O B = O C $$，$$\therefore A $$，$$O $$，$$D $$ 三点共线，$$\therefore A D = 2 + \sqrt { 3 } $$，$$\therefore S _ { \triangle A C B } = \frac { 1 } { 2 } B C \cdot A D = 2 + \sqrt { 3 } $$，$$S _ { \triangle B O C } = \frac { 1 } { 2 } B C \cdot O D = \sqrt { 3 } $$，$
\therefore S _ { \text { 阴影 } } = S _ { \triangle A C B } + S _ { \text { 扇形 } O B C } - S _ { \triangle B O C } = 2 + \sqrt { 3 } + \frac { 60 \pi × 2 ^ { 2 } } { 360 } - \sqrt { 3 } = 2 + \frac { 2 } { 3 } \pi $$，故选 A．

20.如图,已知大半圆$\odot O_{1}$与小半圆$\odot O_{2}$相内切于点B,大半圆的弦MN切小半圆于点D,若$MN// AB$,则当$MN=5$时,图中阴影部分的面积是____$\frac{25}{8}\pi$.

答案： $ \frac { 25 } { 8 } \pi $

21.如图,A是半径为2的$\odot O$外一点,$OA=4$,AB是$\odot O$的切线,B为切点,弦$BC// OA$,连接AC,则阴影部分的面积为$\frac { 2 } { 3 } \pi$.

答案： $ \frac { 2 } { 3 } \pi $

22.如图,CD是$\odot O$的直径,AB是$\odot O$的弦,$AB⊥CD$,垂足为G,$OG:OC=3:5,AB=8.$
(1)求$\odot O$的半径;
(2)点E为圆上一点,$∠ECD=15^{\circ }$,将$\widehat {CE}$沿弦CE翻折,交CD于点F,求图中阴影部分的面积.

答案：
解：（1）如图①，连接$$A O $$，

$\because C D $$ 为$$\odot O $$ 的直径，$$A B \perp C D $$，$$A B = 8 $$，$
\therefore A G = \frac { 1 } { 2 } A B = 4 $$，
$\because O G : O C = 3 : 5 $$，$$A B \perp C D $$，垂足为$$G $$，$
\therefore $$ 设$$\odot O $$ 的半径为$$5 k $$，则$$O G = 3 k $$，
$\therefore ( 3 k ) ^ { 2 } + 4 ^ { 2 } = ( 5 k ) ^ { 2 } $$，解得$$k = 1 $$ 或$$k = - 1 $$（舍去），即$$\odot O $$ 的半径是$$5 $$；（2）如图②，将阴影部分沿$$C E $$ 翻折，设点$$F $$ 的对应点为点$$M $$， $
\because \angle E C D = 15 ^ { \circ } $$，由对称性，得$$\angle D C M = 30 ^ { \circ } $$，
$S _ { \text { 阴影 } } = S _ { \text { 弓形 } C B M } $$，连接$$O M $$，则$$\angle M O D = 60 ^ { \circ } $$，$
\therefore \angle M O C = 120 ^ { \circ } $$，过点$$M $$ 作$$M N \perp C D $$ 于点$$N $$，
$\because \angle O M N = 30 ^ { \circ } $$，$
\therefore O N = \frac { 1 } { 2 } O M = \frac { 5 } { 2 } $$，
$\therefore M N = \sqrt { O M ^ { 2 } - O N ^ { 2 } } = \frac { 5 \sqrt { 3 } } { 2 } $$，$
\therefore S _ { \text { 阴影 } } = S _ { \text { 扇形 } O M C } - S _ { \triangle O M C } = \frac { 120 × \pi × 5 ^ { 2 } } { 360 } - \frac { 1 } { 2 } × 5 × \frac { 5 \sqrt { 3 } } { 2 } = \frac { 25 \pi } { 3 } - \frac { 25 \sqrt { 3 } } { 4 } $$，
即图中阴影部分的面积是$$\frac { 25 \pi } { 3 } - \frac { 25 \sqrt { 3 } } { 4 } $$．