《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

12.如图,四边形ABCD中,$AB=AD=CD$,以AB为直径的$\odot O$经过点C,连接AC,OD相交于点E,若$AC=2BC$,求证:DC与$\odot O$相切.

答案：
证明：如图，连接OC，

$\because O A = O C ，$D A = D C ，$\therefore O D $垂直且平分A C ，
$\therefore A E = E C = \frac { 1 } { 2 } A C = B C ，$$\angle C E D = 90 ^ { \circ } ，$$\because AB $是直径，
$\therefore \angle A C B = \angle C E D = 90 ^ { \circ } ，$又$\because AB = CD ，$$\therefore \mathrm { Rt } \triangle A B C \cong \mathrm { Rt } \triangle D C E ( \mathrm { HL } ) ，$
$\therefore \angle D C E = \angle A B C = \angle O C B ，$$\therefore \angle D C E + \angle O C E = \angle O C B + \angle O C E = 90 ^ { \circ } ，$
$\therefore D C $与$\odot O $相切．

13.(例7)如图,$△ABC$中,$CA=CB$,D为AB的中点,$\odot D$与AC相切于点E,求证:BC与$\odot D$相切.

答案：
（例 7）证明：如图，连接$$DE$$，$$CD$$，作$$DF \perp BC $$ 于点$$F $$，

$\because C A = C B $$，$$D A = D B $$ ，$
\therefore C D $$ 平分$$\angle A C B $$，
$\therefore D E = D F $$，$
\therefore B C $$ 与$$\odot D $$ 相切于点$$F $$．
注：也可证$$\triangle D A E \cong \triangle D B F $$，得到$$D E = D F $$．