《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

5.如图,已知抛物线$y=x^{2}-2x-3$与坐标轴交于$A(-1,0)$,$B(3,0)$,$C(0,-3)$三点,点$P$在抛物线上.
(1)求直线$BC$的解析式;
(2)若$\angle BAP=\angle OBC$,求点$P$的坐标.

答案：
(1)
∵点B(3,0)，点C(0,−3)，
　设直线BC的解析式为y=kx+b，
　代入得k=1，b=−3，
∴y=x−3;
(2)
∵OB=OC=3，
∴∠OBC=∠BAP=45°，设点P坐标为(x,x²−2x−3)，
∴x + 1 = |x²−2x−3|.
　①当x²−2x−3＞0时，x + 1 = x²−2x−3，
　解得x₁=4，x₂=−1(舍去)，
　当x=4时，y=5，
∴P₁(4,5);
　②当x²−2x−3＜0时，x + 1 = -(x²−2x−3)，解得x₁=2，x₂=−1(舍去)，
　当x=2时，y=−3，
∴P₂(2,−3).
　综上，P的坐标为(4,5)或(2,−3).

6.如图,抛物线$y=x^{2}-2x-3$与坐标轴交于$A(-1,0)$,$B(3,0)$,$C(0,-3)$.当点$P$在抛物线的对称轴上,若$\triangle ACP$是直角三角形,求点$P$的坐标.

答案： 解:根据抛物线解析式得，对称轴为直线x = -$\frac{b}{2a}$ = 1，
　设点P坐标为(1,y)，
　AC²=1²+3²=10，
　PA²=2²+y²=4+y²，
　PC²=1²+(y + 3)²=y²+6y + 10，
　①以A为直角顶点，则PA⊥AC，
　在Rt△APC中，PA²+AC²=PC²，
　(4+y²)+10=y²+6y + 10，
　解得y=$\frac{2}{3}$，
∴P₁(1,$\frac{2}{3}$);
　②以C为直角顶点，则PC⊥AC，
　在Rt△APC中，PC²+AC²=PA²，
　(y²+6y + 10)+10=4+y²，
　解得y=−$\frac{8}{3}$，
∴P₂(1,−$\frac{8}{3}$);
　③以P为直角顶点，则PA⊥PC，
　在Rt△APC中，PA²+PC²=AC²，
　4+y²+(y²+6y + 10)=10，
　解得y₁=−1，y₂=−2，
∴P₃(1,−1)，P₄(1,−2).
　综上，P的坐标为(1,$\frac{2}{3}$)或(1,−$\frac{8}{3}$)或(1,−1)或(1,−2).