《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

19.如图①,抛物线$y = -\frac{1}{4}x^{2}+\frac{1}{4}x + 3$与x轴交于A,C两点,与y轴交于点B,与直线y = kx + b交于A,D两点,其中D(5,-2).
(1)直接写出A,C两点坐标和直线AD的解析式;
(2)如图②,质地均匀的正四面体骰子的各个面上依次标有数字-1,1,3,4.随机抛掷这枚骰子两次,把第一次着地一面的数字m记作点P的横坐标,第二次着地一面的数字n记作点P的纵坐标,则点P(m,n)落在图①中抛物线与直线围成区域内(图中阴影部分,含边界)的概率是多少?

答案： 解:
(1) 点 $A$ 坐标为 $(-3,0)$, 点 $C$ 坐标为 $(4,0)$; 直线 $AD$ 的解析式为 $y = -\frac{1}{4}x - \frac{3}{4}$;
(2) 所有可能出现的结果, 列表如下 (用树状图列举也可以):
总共有 16 种结果, 每种结果出现的可能性相同, 而落在图①中抛物线与直线围成的区域的结果有: $(-1,1),(1,-1),(1,1),(1,3),(3,-1),(3,1),(4,-1)$, 共 7 种情况.
$\therefore P$ (落在抛物线与直线围成的区域内) $=\frac{7}{16}$.