《2025年1课3练江苏人民出版社九年级数学下册北师大版》

11 如图，在△ABC中，∠B=30°，∠BAC=105°，AB=4，则BC=________．
　　

答案：
$2\sqrt{3}+2$ [解析]如图，过点A作边BC的垂线，垂足为M.
∵$\angle B = 30^{\circ}$，$AM\perp BC$，
∴$\angle BAM = 60^{\circ}$.
∵$\angle BAC = 105^{\circ}$，
∴$\angle MAC = 105^{\circ}-60^{\circ}=45^{\circ}$.
在$Rt\triangle ABM$中，$\angle AMB = 90^{\circ}$，$\angle B = 30^{\circ}$，$AB = 4$，
∴$AM = AB\cdot\sin B = 4\times\frac{1}{2}=2$，
$BM = AB\cdot\cos B = 4\times\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$.
在$Rt\triangle AMC$中，$\angle AMC = 90^{\circ}$，$\angle MAC = 45^{\circ}$，
∴$MC = AM\cdot\tan\angle MAC = 2\times1 = 2$，
∴$BC = BM+MC = 2\sqrt{3}+2$.

12 (2023·凉山州中考)如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB=90°，CD是边AB上的中线，将△ACD沿CD折叠，当点A落在点A'处时，恰好CA'⊥AB，若BC=2，则CA'=________．
　　

答案：
$2\sqrt{3}$ [解析]如图，设$CA'$与AB交于点O.

∵$\angle ACB = 90^{\circ}$，CD是边AB上的中线，
∴$CD = AD = DB$，
∴$\angle A = \angle ACD$.
由翻折的性质可知$\angle ACD=\angle A'CD$，$AC = CA'$，
∴$\angle A=\angle ACD=\angle A'CD$.
∵$A'C\perp AB$，
∴$\angle AOC = 90^{\circ}$，
∴$\angle A'CD+\angle ACD+\angle A = 90^{\circ}$，
∴$\angle A=\angle ACD=\angle A'CD = 30^{\circ}$.
在$Rt\triangle ABC$中，$BC = 2$，$\tan A=\frac{BC}{AC}$，
∴$\tan30^{\circ}=\frac{2}{AC}$，
∴$AC = 2\sqrt{3}$，
∴$CA' = 2\sqrt{3}$.

13 (2024·广东中考)中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献.为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形PQMN充电站的平面示意图，矩形ABCD是其中一个停车位.经测量，∠ABQ=60°，AB=5.4 m，CE=1.6 m，GH⊥CD，GH是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定.
根据以上信息回答下列问题：(结果精确到0.1 m，参考数据：$\sqrt{3}\approx1.73$)
(1)求PQ的长；
(2)该充电站有20个停车位，求PN的长.
　　　　　　

答案：
(1)
∵四边形PQMN是矩形，
∴$\angle Q=\angle P = 90^{\circ}$.
在$Rt\triangle ABQ$中，$\angle ABQ = 60^{\circ}$，$AB = 5.4$m，
∴$AQ = AB\cdot\sin\angle ABQ=\frac{27\sqrt{3}}{10}$m，$\angle QAB = 30^{\circ}$.
∵四边形ABCD是矩形，
∴$AD = BC$，$\angle BAD=\angle BCD=\angle ABC=\angle BCE = 90^{\circ}$，
∴$\angle CBE = 30^{\circ}$，
∴$BC=\frac{CE}{\tan\angle CBE}=\frac{8\sqrt{3}}{5}$m，
∴$AD=\frac{8\sqrt{3}}{5}$m.
∵$\angle PAD = 180^{\circ}-30^{\circ}-90^{\circ}=60^{\circ}$，
∴$AP = AD\cdot\cos\angle PAD=\frac{4\sqrt{3}}{5}$m，
∴$PQ = AP+AQ=\frac{35\sqrt{3}}{10}\approx6.1$(m).
(2)在$Rt\triangle BCE$中，$BE=\frac{CE}{\sin\angle CBE}=3.2$m，
在$Rt\triangle ABQ$中，$BQ = AB\cdot\cos\angle ABQ = 2.7$m.
∵该充电站有20个停车位，
∴$QM = QB+20BE = 66.7$(m).
∵四边形PQMN是矩形，
∴$PN = QM = 66.7$m.

14 新情境 测量风叶长度 (2023·广元中考)“一缕清风银叶转”，某市20台风机依次矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户.某中学初三数学兴趣小组，为测量风叶的长度进行了实地测量.如图，三片风叶两两所成的角为120°，当其中一片风叶OB与塔干OD叠合时，在与塔底D水平距离为60米的E处，测得塔顶部O的仰角∠OED=45°，风叶OA的视角∠OEA=30°．
(1)已知α，β两角和的余弦公式为：$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$，请利用公式计算$\cos75^{\circ}$；
(2)求风叶OA的长度.
　　　　　　　　　　　

答案：

(1)由题意，得$\cos75^{\circ}=\cos(30^{\circ}+45^{\circ})=\cos30^{\circ}\cdot\cos45^{\circ}-\sin30^{\circ}\sin45^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.
(2)由题意，得$\angle OED = 45^{\circ}$，$DE = 60$米，
∴$OE = 60\sqrt{2}$米，$\angle DOE = 45^{\circ}$，
∴$\angle AOE = 120^{\circ}-45^{\circ}=75^{\circ}$.
又$\angle OEA = 30^{\circ}$，
∴$\angle OAE = 75^{\circ}$，
∴$EA = OE = 60\sqrt{2}$米.
如图，过点A作$AF\perp OE$于点F.

在$Rt\triangle AEF$中，$\angle AEF = 30^{\circ}$，$AE = 60\sqrt{2}$米，
∴$EF = AE\cdot\cos30^{\circ}=60\sqrt{2}\times\frac{\sqrt{3}}{2}=30\sqrt{6}$(米)，
∴$OF = OE - EF=(60\sqrt{2}-30\sqrt{6})$米.
在$Rt\triangle AOF$中，$\angle AFO = 90^{\circ}$，$\cos\angle AOF=\frac{OF}{AO}$.
∵$\angle AOF = 75^{\circ}$，
∴$\frac{OF}{AO}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，
∴$OA=\frac{60\sqrt{2}-30\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}=(60\sqrt{3}-60)$米.
故风叶OA的长度为$(60\sqrt{3}-60)$米.