《2025年1课3练江苏人民出版社九年级数学下册北师大版》

1. 如图,在Rt△ABC中,∠C = 90°,AC = 4,BC = 2,求sin A,cos A,tan A的值.
　　　　　　　　　　　　　

答案：
∵∠C = 90°，AC = 4，BC = 2，
∴AB = $\sqrt{BC^{2}+AC^{2}}=\sqrt{2^{2}+4^{2}} = 2\sqrt{5}$。
∴$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{2}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{4}{2\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。

2. 如图,在Rt△ABC中,∠C = 90°,sin B = $\frac{3}{5}$,点D在边BC上,BD = 4,连接AD,tan∠DAC = $\frac{2}{3}$.
　(1)求边AC的长;
　(2)求tan∠BAD的值.
　　　　　　　　　　　　　

答案：
(1)设AC = 3m。
∵∠C = 90°，$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5}$，
∴AB = 5m，
∴BC = $\sqrt{AB^{2}-AC^{2}} = 4m$。
∵$\tan\angle DAC=\frac{CD}{AC}=\frac{2}{3}$，
∴CD = 2m，
∴BC = 4m = 2m + 4，解得m = 2，
∴AC = 3m = 6。
(2)过点D作DE⊥AB于点E。
由
(1)知，AB = 5m = 10，AC = 6，BD = 4，
∵$\sin B=\frac{DE}{BD}=\frac{3}{5}$，
∴DE = $\frac{3}{5}BD=\frac{12}{5}$，
∴BE = $\sqrt{BD^{2}-DE^{2}}=\frac{16}{5}$，
∴AE = AB - BE = $\frac{34}{5}$，
∴$\tan\angle BAD=\frac{DE}{AE}=\frac{\frac{12}{5}}{\frac{34}{5}}=\frac{6}{17}$。
故$\tan\angle BAD$的值是$\frac{6}{17}$。

3. (2024·中山一模)若在△ABC中,锐角A,B满足$\left|\sin A - \frac{\sqrt{3}}{2}\right| + (\cos B - \frac{1}{2})^2 = 0$,则△ABC是(　　　).
A. 钝角三角形
B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形
D. 等边三角形

答案： D

4. (2024·中山一模)计算:2cos 30° - tan 60° + tan 45° - $\frac{1}{2}$sin 60°.

答案： 原式 = $2\times\frac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{3}+1-\frac{1}{2}\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}-\sqrt{3}+1-\frac{\sqrt{3}}{4}=1-\frac{\sqrt{3}}{4}$。

5. 新情境 运送物资 (2024·重庆中考)如图,甲、乙两艘货轮同时从A港出发,分别向B,D两港运送物资,最后到达A港正东方向的C港装运新的物资. 甲货轮沿A港的东南方向航行40海里后到达B港,再沿北偏东60°方向航行一定距离到达C港. 乙货轮沿A港的北偏东60°方向航行一定距离到达D港,再沿南偏东30°方向航行一定距离到达C港.
　(参考数据:$\sqrt{2} \approx 1.41,\sqrt{3} \approx 1.73,\sqrt{6} \approx 2.45$)
　(1)求A,C两港之间的距离(结果保留小数点后一位).
　(2)若甲、乙两艘货轮的速度相同(停靠B,D两港的时间相同),哪艘货轮先到达C港? 请通过计算说明.
　　　　　　　　

答案：

(1)如图，过点B作BE⊥AC，垂足为E。在Rt△ABE中，∠BAE = 90° - 45° = 45°，AB = 40海里，
∴AE = AB·$\cos 45^{\circ}=40\times\frac{\sqrt{2}}{2}=20\sqrt{2}$(海里)，
BE = AB·$\sin 45^{\circ}=40\times\frac{\sqrt{2}}{2}=20\sqrt{2}$(海里)。
在Rt△BCE中，∠CBE = 60°，
∴CE = BE·$\tan 60^{\circ}=20\sqrt{2}\times\sqrt{3}=20\sqrt{6}$(海里)，
∴AC = AE + CE = $20\sqrt{2}+20\sqrt{6}\approx77.2$(海里)。
故A，C两港之间的距离约为77.2海里。

(2)甲货轮先到达C港。理由如下：
如图，由题意，得∠CDF = 30°，DF//AG，
∴∠GAD = ∠ADF = 60°，
∴∠ADC = ∠ADF + ∠CDF = 90°。
在Rt△ACD中，∠CAD = 90° - ∠GAD = 30°，
∴CD = $\frac{1}{2}AC=(10\sqrt{2}+10\sqrt{6})$海里，
AD = AC·$\cos 30^{\circ}=(10\sqrt{6}+30\sqrt{2})$海里。
在Rt△BCE中，∠CBE = 60°，BE = $20\sqrt{2}$海里，
∴BC = $\frac{BE}{\cos 60^{\circ}}=\frac{20\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} = 40\sqrt{2}$(海里)，
∴甲货轮航行的路程 = AB + BC = $40 + 40\sqrt{2}\approx96.4$(海里)，乙货轮航行的路程 = AD + CD = $10\sqrt{6}+30\sqrt{2}+10\sqrt{2}+10\sqrt{6}=20\sqrt{6}+40\sqrt{2}\approx105.4$(海里)。
∵96.4海里＜105.4海里，且两艘货轮的速度相同，
∴甲货轮先到达C港。