《2025年1课3练江苏人民出版社九年级数学下册北师大版》

13 (2023·广东中考)如图,抛物线$y = ax^{2}+c$经过正方形OABC的三个顶点A,B,C,点B在y轴上,则ac的值为( ).

A. -1
B. -2
C. -3
D. -4

答案： B

14 中考新考法 满足条件的结论开放 能否适当地上下平移函数$y = -\frac{4}{3}x^{2}$的图象,使得到的新图象过点(3,-18)? 若能,说出平移的方向和距离;若不能,请说明理由.

答案： 能，向下平移6个单位长度.理由如下：设平移后的函数表达式为$y = -\frac{4}{3}x^{2}+k$，将$x = 3$，$y = -18$代入，得$k = -6$.故将原函数图象向下平移6个单位长度，得到的新图象过点(3, -18).

15 中考新考法 解题方法型阅读理解题 [知识归纳]
(1)点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y),点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y);
(2)两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反,即点P(x,y)关于原点的对称点为P'(-x,-y).
[应用]小颖在学习完《旋转》与《二次函数》两章后,从点的对称角度思考函数图象的对称,发现一次函数、二次函数图象上也可以应用点的对称特点.
根据上面知识,求与已知直线$y = 2x + 3$关于y轴对称的直线的表达式.
解:设与直线$y = 2x + 3$关于y轴对称的直线上任意一点为(x,y),
∵点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y),且点(-x,y)必在直线$y = 2x + 3$上,
∴把点(-x,y)代入$y = 2x + 3$,得
$y = 2(-x)+3=-2x + 3$,
∴与已知直线$y = 2x + 3$关于y轴对称的直线的表达式为$y = -2x + 3$.
理解上面的解题过程,并完成下题:
(1)求出直线$y = 3x + 2$关于x轴对称的直线的表达式.
(2)判断以下每对函数的图象:
①$y = 2x^{2}+1$与$y = -2x - 1$;
②$y = x^{2}+1$与$y = -x^{2}-1$;
③$y = x^{2}+1$与$y = -x^{2}$;
④$y=(x - 1)^{2}$与$y=-(x + 1)^{2}$.
其中一定关于原点对称的是______.(填序号)

答案：
(1)设与直线$y = 3x + 2$关于$x$轴对称的直线上任意一点为$(x,y)$.
∵点$(x,y)$关于$x$轴对称的点的坐标为$(x, -y)$，且点$(x, -y)$在直线$y = 3x + 2$上，
∴把点$(x, -y)$代入$y = 3x + 2$，得$-y = 3x + 2$，即$y = -3x - 2$，
∴与已知直线$y = 3x + 2$关于$x$轴对称的直线的表达式为$y = -3x - 2$.
(2)②④ [解析]由
(1)
(2)探究的符号变化规律可知，其中一定关于原点对称的是②④.