《2025年1课3练江苏人民出版社九年级数学下册北师大版》

1 教材P18习题T4·变式 (2024·河北模拟)如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为α，则高BC是( ).
A. 12sinα米 B. 12cosα米
C. $\frac{12}{\sin\alpha}$米 D. $\frac{12}{\cos\alpha}$米
　

答案： A

2 (2024·西安雁塔区模拟)如图，在△ABC中，∠C = 45°，tan B = $\sqrt{3}$，AD⊥BC于点D，AC = $2\sqrt{6}$，若E，F分别为AC，BC的中点，则EF的长为( ).
A. $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ B. 2 C. $\sqrt{3}$ D. $\sqrt{6}$
　

答案： B[解析]在Rt△ACD中,AC = 2√6，∠C = 45°，
∴AD = AC·sin 45° = 2√6×√2/2 = 2√3.
∵在Rt△ABD中，tan B = √3，
∴∠B = 60°.
∴AB = AD/sin 60° = 2√3/(√3/2) = 4.
∵E，F分别为AC，BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF = 1/2AB = 2.
故选B.
思路引导：根据已知∠C = 45°，AC = 2√6，先在Rt△ACD中求出AD的长，再由tan B = √3求出∠B的度数，在Rt△ABD中求出AB的长，最后利用三角形的中位线定理求EF的长.

3 教材P16做一做·改编 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，BC = 3，AC = $3\sqrt{3}$. 解这个直角三角形，则AB = ______，∠A = ______，∠B = ______.
　　　

答案： 6　30°　60°　　[解析]在Rt△ABC中，∠C = 90°，BC = 3，AC = 3√3，
∴AB = √(AC² + BC²) = √((3√3)² + 3²) = 6.
∵tan A = BC/AC = 3/(3√3) = √3/3，
∴∠A = 30°，
∴∠B = 90° - ∠A = 90° - 30° = 60°.

4 教材P16例1·改编 (2024·安徽池州青阳期末)已知锐角三角形ABC中，AB = AC = 10，tan B = 3，则BC的长为______.

答案：
2√10　[解析]如图，过点A作AD⊥BC于点D.
∵AB = AC，AD⊥BC，
∴BD = CD.
∵tan B = AD/BD = 3，
∴AD = 3BD.
设BD = x，则AD = 3x.
∵BD² + AD² = AB²，
∴x² + (3x)² = 10²，
∴x = √10（负值舍去），
∴BC = 2BD = 2x = 2√10

5 (2023·广元中考)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1，0)，点B(0，-3)，点C在x轴上，且点C在点A右方，连接AB，BC，若tan∠ABC = $\frac{1}{3}$，则点C的坐标为______.
　　　

答案：
(9/4,0)　[解析]设C(a,0)，
∴OC = a.
∵点A(1,0)，点B(0, - 3)，
∴OA = 1，AC = a - 1，OB = 3，
∴BC = √(3² + a²) = √(a² + 9).
在Rt△OAB中，tan∠OBA = OA/OB = 1/3，
又tan∠ABC = 1/3，
∴∠OBA = ∠ABC.
如图，过点C作CD//y轴交BA的延长线于点D，
∴∠OBA = ∠D，∠AOB = ∠ACD，
∴△OBA∽△CDA，∠ABC = ∠D，
∴OB/CD = OA/CA，CD = BC，
∴OB/BC = OA/AC，
∴3/√(a² + 9) = 1/(a - 1)，
解得a = 0（舍去）或a = 9/4，
∴点C的坐标为(9/4,0).

6 教材P17随堂练习·改编 解直角三角形：
(1)∠C = 90°，AB = $5\sqrt{2}$，BC = 5；
(2)∠C = 90°，AC = $\sqrt{2}$，BC = $\sqrt{6}$.

答案：
(1)
∵∠C = 90°，AB = 5√2，BC = 5，
∴AC = √(AB² - BC²) = 5，
∴tan A = BC/AC = 1，
∴∠A = 45°，
∴∠B = 45°.
故AC = 5，∠A = ∠B = 45°.
(2)
∵∠C = 90°，AC = √2，BC = √6，
∴AB = √(AC² + BC²) = 2√2.
∵tan B = AC/BC = √2/√6 = √3/3，
∴∠B = 30°，
∴∠A = 90° - 30° = 60°.
故AB = 2√2，∠A = 60°，∠B = 30°.

7 教材P17习题T2·变式 在△ABC中，已知∠A：∠B：∠C = 1：2：3，c - b = $4 - 2\sqrt{3}$，解这个三角形.

答案：
∵∠A : ∠B : ∠C = 1 : 2 : 3，∠A + ∠B + ∠C = 180°，
∴∠A = 180°×1/(1 + 2 + 3) = 30°.
∴∠B = 60°，∠C = 90°.
∴sin B = sin 60° = b/c = √3/2，
∴b = √3/2c.
∵c - b = 4 - 2√3，
∴c - √3/2c = 4 - 2√3，解得c = 4.
∴b = 2√3.
∴a = c·sin A = 4×sin 30° = 2.

8 教材P16例2·变式 (2024·浙江中考)如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB = 10，AD = 6，tan∠ACB = 1.
(1)求BC的长；
(2)求sin∠DAE的值.
　　　　　　　　　　　　　　

答案：
(1)
∵AD⊥BC，
∴∠ADB = ∠ADC = 90°.
∵AB = 10，AD = 6，
∴BD = √(AB² - AD²) = √(10² - 6²) = 8.
∵tan∠ACB = 1，
∴CD = AD = 6，
∴BC = BD + CD = 8 + 6 = 14.
(2)
∵AE是BC边上的中线，
∴CE = 1/2BC = 7，
∴DE = CE - CD = 7 - 6 = 1，
∴AE = √(AD² + DE²) = √(6² + 1²) = √37，
∴sin∠DAE = DE/AE = 1/√37 = √37/37.