《2025年1课3练江苏人民出版社九年级数学下册北师大版》

10 (2024·陕西中考)已知一个二次函数y = ax²+bx + c的自变量x与函数y的几组对应值如下表：
　　　　　　　　
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）.
A. 图象的开口向上
B. 当x＞0时，y的值随x值的增大而减小
C. 图象经过第二、三、四象限
D. 图象的对称轴是直线x = 1

答案： D [解析]由题知{4a - 2b + c = -8, c = 0, 9a + 3b + c = -3}
解得{a = -1, b = 2, c = 0}
所以二次函数的表达式为y = -x² + 2x.
因为a = -1 ＜ 0，所以抛物线的开口向下.
故A选项不符合题意.
因为y = -x² + 2x = -(x - 1)² + 1，
所以当x ＞ 1时，y随x的增大而减小.
故B选项不符合题意.
令y = 0得 -x² + 2x = 0，解得x1 = 0，x2 = 2，
所以抛物线与x轴的交点坐标为(0,0)和(2,0).
又因为抛物线的顶点坐标为(1,1)，
所以抛物线经过第一、三、四象限.
故C选项不符合题意.
因为二次函数的表达式为y = -(x - 1)² + 1，
所以抛物线的对称轴为直线x = 1.
故D选项符合题意. 故选D.
归纳总结 根据三个点或者三组x，y的值，利用一般式求函数关系式.

11 (江苏南京一中特长生)y = ax²+bx + c绕原点旋转180°，再向右平移3个单位长度，则新函数的表达式为________.

答案： y = -a(x - 3)² + b(x - 3) - c [解析]y = ax² + bx + c = a(x + b / (2a))² + (4ac - b²) / (4a)，
∴顶点坐标为(-b / (2a), (4ac - b²) / (4a)).
∵图象绕原点旋转180°，再向右平移3个单位长度，
∴图象大小、形状不变，开口方向改变，顶点坐标变为(b / (2a) + 3, -(4ac - b²) / (4a))，
∴新函数的表达式为y = -a(x - b / (2a) - 3)² - (4ac - b²) / (4a) = -a(x - 3)² + b(x - 3) - c.

12 (2024·浙江山海联盟协作学校期中)在关于x的二次函数y = ax²-2ax + b中，当0≤x≤3时，-2≤y≤6，则b - a的值为________.

答案： -2或6 [解析]抛物线y = ax² - 2ax + b = a(x - 1)² + b - a，
∴顶点坐标为(1,b - a).
①当a ＞ 0时，
∵0 ≤ x ≤ 3时，-2 ≤ y ≤ 6，
此时函数有最小值为b - a，
∴b - a = -2；
②当a ＜ 0时，
∵0 ≤ x ≤ 3时，-2 ≤ y ≤ 6，
此时函数有最大值为b - a，
∴b - a = 6.

13 (2024·浙江中考)已知二次函数y = x²+bx + c（b，c为常数）的图象经过点A(-2，5)，对称轴为直线x = -$\frac{1}{2}$.
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点B(1，7)向上平移2个单位长度，向左平移m(m＞0)个单位长度后，恰好落在y = x²+bx + c的图象上，求m的值；
(3)当-2≤x≤n时，二次函数y = x²+bx + c的最大值与最小值的差为$\frac{9}{4}$，求n的取值范围.

答案：
(1)
∵二次函数为y = x² + bx + c，
∴抛物线对称轴为直线x = -b / 2 = -1 / 2，
∴b = 1，
∴抛物线为y = x² + x + c.
又图象经过点A(-2,5)，
∴4 - 2 + c = 5，解得c = 3，
∴抛物线为y = x² + x + 3.
(2)
∵点B(1,7)向上平移2个单位长度，向左平移m个单位长度(m ＞ 0)，
∴平移后的点为(1 - m,9).
又(1 - m,9)在y = x² + x + 3的图象上，
∴9 = (1 - m)² + (1 - m) + 3，
解得m = 4或m = -1(舍去)，
∴m = 4.
(3)由题意，当n ＜ -1 / 2时，最大值在x = -2时取到，最小值在x = n时取到，
∴最大值与最小值的差为5 - [(n + 1 / 2)² + 11 / 4] = 9 / 4，解得n1 = n2 = -1 / 2，不符合题意，舍去；
当 -1 / 2 ≤ n ≤ 1时，最大值在x = -2时取到，最小值在x = -1 / 2时取到，
∴最大值与最小值的差为5 - 11 / 4 = 9 / 4，符合题意；
当n ＞ 1时，最大值在x = n时取到，最小值在x = -1 / 2时取到，
∴最大值与最小值的差为(n + 1 / 2)² + 11 / 4 - 11 / 4 = 9 / 4，
解得n1 = 1或n2 = -2，均不符合题意.
综上所述，n的取值范围为 -1 / 2 ≤ n ≤ 1.

14 中考新考法 满足结论的条件开放 如图(1)，题目中的涂色部分是被墨水污染了无法辨认的文字，导致题目缺少一个条件而无法解答，经查询结果发现，该二次函数的表达式为y = x²-4x + 1.

(1)请根据已有信息添加一个适当的条件：________.
(2)当函数值y＜6时，自变量x的取值范围是________.
(3)如图(2)，将函数y = x²-4x + 1(x＜0)的图象向右平移4个单位长度，与y = x²-4x + 1(x≥4)的图象组成一个新的函数图象，记为L.若点P(3，m)在L上，求m的值.
(4)如图(3)，在(3)的条件下，点A的坐标为(2，0)，在L上是否存在点Q，使得S△OAQ = 9？若存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
　　　　　

答案：
(1)C(2,-3)(答案不唯一)
(2)-1 ＜ x ＜ 5 [解析]
∵y = x² - 4x + 1，
∴当x² - 4x + 1 = 6时，解得x = 5或x = -1，
∴当y ＜ 6时，-1 ＜ x ＜ 5.
(3)
∵y = x² - 4x + 1 = (x - 2)² - 3，
∴抛物线向右平移4个单位长度后的表达式为y = (x - 6)² - 3.
当x = 3时，点P在抛物线y = (x - 6)² - 3的部分上，
∴m = 6.
(4)存在点Q，使得S△OAQ = 9. 理由如下：
当点Q在抛物线y = (x - 6)² - 3的部分上时，设Q(t,t² - 12t + 33)，
∴S△OAQ = 1 / 2 × 2 × (t² - 12t + 33) = 9，
解得t = 6 + 2√3或t = 6 - 2√3.
∵t ＜ 4，
∴t = 6 - 2√3，
∴Q(6 - 2√3,9)；
当点Q在抛物线y = x² - 4x + 1的部分上时，设Q(q,q² - 4q + 1)，
∴S△OAQ = 1 / 2 × 2 × (q² - 4q + 1) = 9，
解得q = 2√3 + 2或q = -2√3 + 2.
∵q ≥ 4，
∴q = 2√3 + 2，
∴Q(2√3 + 2,9).
综上所述，点Q的坐标为(6 - 2√3,9)或(2√3 + 2,9).