《2025年1课3练江苏人民出版社九年级数学下册北师大版》

10. 如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，且小量角器的中心O₂恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为P，且点P在小量角器上对应的刻度为63°，那么点P在大量角器上对应的刻度为________．（只考虑小于90°的角）

答案： $54^{\circ}$

11. 传统文化《周髀算经》 我国东汉初年的数学典籍《周髀算经》中总结了对几何工具“矩”（即直角形状的曲尺，如图(1)所示）的使用之道，其中就有“环矩以为圆”的方法. 我国许多数学家对该方法作了如下更具体的描述：如图(2)所示，在平面内固定两个钉子A，B，保持“矩”的两边始终紧靠两钉子的内侧，转动“矩”，则“矩”的顶点C的运动路线将会是一个圆. 依此描述，请用你学过的一个数学概念或定理解释“环矩以为圆”这种方法的道理：____________.

答案： 圆是所有到定点的距离等于定长的点所组成的图形

12. 传统文化《周髀算经》 东汉初年，我国的《周髀算经》里就有“径一周三”的古率（径一周三：径：圆的直径；周：圆的周长. 圆的直径与圆的周长的比为1：3，比喻两者相差很远），提出了圆的直径与周长之间存在一定的比例关系. 将图中的半圆弧形铁丝MN向右水平拉直（保持M端不动），根据该古率，与拉直后铁丝N端的位置最接近的是________．

答案： 点A

13. （2023·上海嘉定区二模）如图，在△ABC中，AC = AB，sin A = $\frac{3}{5}$，圆O经过A，B两点，圆心O在线段AC上，点C在圆O内，且OC = 3.
(1)求圆O的半径长；
(2)求BC的长.

答案：

(1)如图，连接OB，过点O作$OD\perp AB$于点D，
$\therefore OA = OB,\therefore\angle ADO = 90^{\circ},AD = BD$.
$\because\frac{OD}{OA}=\sin A=\frac{3}{5},\therefore OD=\frac{3}{5}OA$，
$\therefore AD=\sqrt{OA^{2}-OD^{2}}=\sqrt{OA^{2}-(\frac{3}{5}OA)^{2}}=\frac{4}{5}OA$.
$\because AC = AB,OC = 3$，
$\therefore AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}(OA + 3)$，
$\therefore\frac{4}{5}OA=\frac{1}{2}(OA + 3)$，解得$OA = 5$，
$\therefore$圆O的半径为5.

(2)如图，过点C作$CE\perp AB$于点E，
则$\angle AEC=\angle BEC = 90^{\circ}$.
$\because OC = 3,OA = 5$，
$\therefore AB = AC = OC + OA = 3 + 5 = 8$，
$\therefore CE = AC\cdot\sin A = 8\times\frac{3}{5}=\frac{24}{5}$.
$\because AE=\sqrt{AC^{2}-CE^{2}}=\sqrt{8^{2}-(\frac{24}{5})^{2}}=\frac{32}{5}$，
$\therefore BE = AB - AE = 8-\frac{32}{5}=\frac{8}{5}$，
$\therefore BC=\sqrt{CE^{2}+BE^{2}}=\sqrt{(\frac{24}{5})^{2}+(\frac{8}{5})^{2}}=\frac{8\sqrt{10}}{5}$，
$\therefore BC$的长是$\frac{8\sqrt{10}}{5}$.
归纳总结 求线段的长度问题时，若有角度和线段长度，则可以利用锐角三角函数的定义求解；若有直角三角形和线段长度，则可以利用勾股定理求解；若有相似三角形，则可以利用相似三角形的性质求解.

14. 中考新考法 最值问题 （2023·邵阳中考）如图，在矩形ABCD中，AB = 2，AD = $\sqrt{7}$，动点P在矩形的边上沿B→C→D→A运动. 当点P不与点A，B重合时，将△ABP沿AP对折得到△AB′P，连接CB′，则在点P的运动过程中，线段CB′的最小值为_______．

答案：
$\sqrt{11}-2$ [解析]连接AC. 在矩形ABCD中，$AB = 2$，$AD=\sqrt{7}$，$\therefore BC = AD=\sqrt{7}$，$AC=\sqrt{BC^{2}+AB^{2}}=\sqrt{7 + 4}=\sqrt{11}$.
如图
(1)，当点P在BC上时，$\because AB' = AB = 2$，
$\therefore$点$B'$在以A为圆心，2为半径的圆上运动.
当$A,B',C$三点共线时，$CB'$最短，
此时$CB' = AC - AB'=\sqrt{11}-2$；

当点P在DC上时，如图
(2)，此时$CB'＞\sqrt{11}-2$；
当点P在AD上时，如图
(3)，此时$CB'＞\sqrt{11}-2$.

综上所述，$CB'$的最小值为$\sqrt{11}-2$.