《2025年1课3练江苏人民出版社九年级数学下册北师大版》

8（2023·烟台中考）如图，利用课本上的计算器进行计算，其按键顺序及结果如下：
①按键的结果为4；
②按键的结果为8；
③按键的结果为0.5；
④按键的结果为25.
以上说法正确的序号是________.
　　

答案： ①③

9（2024·淄博张店区二模）如图，某厂房屋顶人字架的跨度BC = 16 m，上弦AB = AC，∠BAC = 130°.小明想用科学计算器求上弦AB的长，若小明按键顺序为8÷□65=，则由左到右第三个空白方格中应按键的符号是________.（请从tan，sin，cos中选择填写）
　　

答案： sin[解析]过点A作AD⊥BC于点D.
∵AB = AC,
∴△ABC是等腰三角形.
∵AD⊥BC,
∴AD是BC的中线，也是∠BAC的平分线.
∵BC = 16m,∠BAC = 130°,
∴BD = $\frac{1}{2}$BC = 8m,∠BAD = $\frac{1}{2}$∠BAC = 65°,
∴sin∠BAD = $\frac{BD}{AB}$,即sin65° = $\frac{8}{AB}$,
∴AB = $\frac{8}{sin 65^{\circ}}$,即AB = 8÷sin65°.
故空白方格中应按键的符号为sin.

10 已知α，β都是锐角，且cos β + sin α = 1.1176，cos β - sin α = 0.0580，试求∠α和∠β的度数.（用科学计算器计算，结果精确到1°）

答案： 列方程组$\begin{cases}\cos\beta+\sin\alpha = 1.1176\\\cos\beta-\sin\alpha = 0.0580\end{cases}$，
两式相加,得2cosβ = 1.1756,
∴cosβ = 0.5878,
∴∠β≈54°.
两式相减,得2sinα = 1.0596，
∴sinα = 0.5298,
∴∠α≈32°.

11（1）先用计算器求下列正弦值（精确到0.0001），然后用“＜”把它们连接起来.
sin 8°，sin 55°7′，sin 89°13′，sin 22°43′20″.
（2）先用计算器求下列余弦值（精确到0.0001），然后用“＜”把它们连接起来.
cos 10°，cos 78°40′，cos 45°，cos 40°8′54″.
（3）由（1）和（2），你能得到什么结论?

答案：
(1)
∵sin8°≈0.1392,sin55°7′≈0.8203,sin89°13′≈0.9999,sin22°43'20"≈0.3863,
∴sin8°＜sin22°43'20"＜sin55°7'＜sin89°13′.
(2)
∵cos10°≈0.9848,cos78°40'≈0.1965,cos45°≈0.7071,cos40°8'54"≈0.7644,
∴cos78°40'＜cos45°＜cos40°8'54"＜cos10°.
(3)结论:锐角三角函数的正弦值随角度的增大而增大，锐角三角函数的余弦值随角度的增大而减小.

12 中考新考法 猜想验证（1）用计算器计算并验证sin 25° + sin 46°与sin 71°之间的大小关系；
（2）若α，β，α + β都是锐角，猜想sin α + sin β与sin(α + β)的大小关系；
（3）请借助如图的图形证明上述猜想.
　　　　　　　　　　　

答案：
(1)sin25° + sin46°＞sin71°.
∵sin25° + sin46°≈0.423 + 0.719 = 1.142,
sin71°≈0.946,
∴sin25° + sin46°＞sin71°.
(2)sinα + sinβ＞sin(α + β).
(3)
∵sinα + sinβ = $\frac{AB}{OA}+\frac{BC}{OB}$，sin(α + β) = $\frac{AE}{OA}$，
又OA＞OB，
∴$\frac{BC}{OB}＞\frac{BC}{OA}$，
∴$\frac{AB}{AO}+\frac{BC}{OB}＞\frac{AB}{OA}+\frac{BC}{OA}=\frac{AB + BC}{OA}$。
∵AB + BC＞AE，
∴$\frac{AB + BC}{OA}＞\frac{AE}{OA}$，
∴sinα + sinβ＞sin(α + β)。