《2025年1课3练江苏人民出版社九年级数学下册北师大版》

13 (2023·河北中考)嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏。 某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题。
如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1 m长。 嘉嘉在点A(6，1)处将沙包(看成点)抛出，其运动路线为抛物线C₁：y=a(x - 3)²+2的一部分，淇淇恰在点B(0，c)处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线C₂：y=- $\frac{1}{8}$x²+$\frac{n}{8}$x+c+1的一部分。
(1)写出C₁的最高点坐标，并求a，c的值；
(2)若嘉嘉在x轴上方1 m的高度上，且到点A水平距离不超过1 m的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值。

答案：
(1)$\because$抛物线$C_{1}:y = a(x - 3)^{2}+2$，
　$\therefore C_{1}$的最高点坐标为$(3,2)$。
　$\because$点$A(6,1)$在抛物线$C_{1}:y = a(x - 3)^{2}+2$上，
　$\therefore1 = a(6 - 3)^{2}+2$，解得$a = -\frac{1}{9}$，
　$\therefore$抛物线$C_{1}:y = -\frac{1}{9}(x - 3)^{2}+2$。
　当$x = 0$时，$c = 1$。
(2)$\because$嘉嘉在$x$轴上方$1m$的高度上，且到点$A$水平距离不超过$1m$的范围内可以接到沙包，
　$\therefore$此时，能接到沙包的坐标范围是$(5,1)$到$(7,1)$之间，
　当经过$(5,1)$时，$1 = -\frac{1}{8}\times25+\frac{n}{8}\times5+1+1$，
　解得$n=\frac{17}{5}$；
　当经过$(7,1)$时，$1 = -\frac{1}{8}\times49+\frac{n}{8}\times7+1+1$，
　解得$n=\frac{41}{7}$，$\therefore\frac{17}{5}\leqslant n\leqslant\frac{41}{7}$。
　$\because n$为整数，
　$\therefore$符合条件的$n$的整数值为$4$和$5$。

14 (2023·陕西中考)某加工厂要加工一种抛物线型钢材构件，如图所示，该抛物线型构件的底部宽度OM=12米，顶点P到底部OM的距离为9米。 将该抛物线放入平面直角坐标系中，点M在x轴上。 其内部支架有两个符合要求的设计方案：
方案一是“川”字形内部支架(由线段AB，PN，DC构成)，点B，N，C在OM上，且OB=BN=NC=CM，点A，D在抛物线上，AB，PN，DC均垂直于OM；
方案二是“H”形内部支架(由线段A'B'，D'C'，EF构成)，点B'，C'在OM上，且OB'=B'C'=C'M，点A'，D'在抛物线上，A'B'，D'C'均垂直于OM，E，F分别是A'B'，D'C'的中点。
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)该加工厂要用某一规格的钢材来加工这种构件，那么哪一个方案的内部支架节省材料?请说明理由。

答案：
(1)$\because$该抛物线型构件的底部宽度$OM = 12$米，顶点$P$到底部$OM$的距离为$9$米，
　$\therefore$顶点$P$的坐标为$(6,9)$，点$O$的坐标为$O(0,0)$，点$M$的坐标为$M(12,0)$。
　设抛物线的函数表达式为$y = a(x - 6)^{2}+9$，将$O(0,0)$代入，得$0 = a(0 - 6)^{2}+9$，解得$a = -\frac{1}{4}$，
　$\therefore$该抛物线的函数表达式为$y = -\frac{1}{4}(x - 6)^{2}+9$，即$y = -\frac{1}{4}x^{2}+3x$。
(2)方案二的内部支架节省材料。理由如下：
　方案一：$\because OB = BN = NC = CM$，$OM = 12$米，
　$\therefore OB = 3$米，$OC = 9$米，
　当$x = 3$时，$y = -\frac{1}{4}(3 - 6)^{2}+9=\frac{27}{4}$，即$AB=\frac{27}{4}$米，
　当$x = 9$时，$y = -\frac{1}{4}(9 - 6)^{2}+9=\frac{27}{4}$，即$CD=\frac{27}{4}$米，
　$\therefore$方案一内部支架材料长度为$AB + NP + CD=\frac{27}{4}+9+\frac{27}{4}=\frac{45}{2}$(米)。
　方案二：$\because OB' = B'C' = C'M$，$OM = 12$米，
　$\therefore OB' = 4$米，$OC' = 8$米，$EF = B'C' = 4$米，
　当$x = 4$时，$y = -\frac{1}{4}(4 - 6)^{2}+9 = 8$，即$A'B' = 8$米，
　当$x = 8$时，$y = -\frac{1}{4}(8 - 6)^{2}+9 = 8$，即$C'D' = 8$米，
　$\therefore$方案二内部支架材料长度为$A'B'+EF + C'D' = 8 + 4 + 8 = 20$(米)。
　$\because\frac{45}{2}\gt20$，$\therefore$方案二的内部支架节省材料。