《2025年1课3练江苏人民出版社九年级数学下册北师大版》

1. 教材P30随堂练习T1改编 下列函数中，是二次函数的有(　　　)．
①$y = 3 - \sqrt{6}x^{2}$；②$y=\frac{1}{1 + x^{2}}$；③$y = 3x^{2}(1 - 3x)$；④$y=(1 - 3x)(1 + 3x)$；⑤$y = 4^{2}-3x$．
A. 1个
　B. 2个
　C. 3个
　D. 4个

答案： B

2. (2024·江苏南京秦淮区期末)下列函数中，y与x之间的关系是二次函数的是(　　　)．
A. $y = 1 - 3x^{3}$
　B. $y = x^{2}-5x$
C. $y = x^{4}+2x^{2}-1$
　D. $y=\frac{1}{x^{2}}$

答案： B

3. 已知$y=(m^{2}-3m)x^{|m - 2|}+2mx + 1$是y关于x的二次函数，则m的值为(　　　)．
A. 0
　B. 1
　C. 4
　D. 0或4

答案： C

4. 若函数$y = mx(x - 1)-x^{2}$是关于x的二次函数，则m的取值范围是________；若当$x = 3$时，$y = 0$，则$m =$________．

答案： $m\neq1$ $\frac{3}{2}$ [解析]$\because y = mx(x - 1) - x^{2}=mx^{2}-mx - x^{2}=(m - 1)x^{2}-mx$是关于$x$的二次函数，$\therefore m - 1\neq0$，$\therefore m\neq1$. 将$x = 3$，$y = 0$代入，得$9(m - 1)-3m = 0$，解得$m=\frac{3}{2}$.

5. 下列函数哪些是二次函数？如果是二次函数，请写出它的二次项、一次项和常数项.
(1)$3y = 3(x - 1)^{2}+1$；
(2)$y=-0.5(x - 1)(x + 4)$；
(3)$s = 3 - 2t^{2}$；
(4)$y = 2x(x^{2}+3x - 1)$；
(5)$y = 1-\sqrt{2}x^{2}$．

答案：
(1)原函数经整理，得$y = x^{2}-2x+\frac{4}{3}$，是二次函数，二次项是$x^{2}$，一次项是$-2x$，常数项是$\frac{4}{3}$.
(2)原函数经整理，得$y = -\frac{1}{2}x^{2}-\frac{3}{2}x + 2$，是二次函数，二次项是$-\frac{1}{2}x^{2}$，一次项是$-\frac{3}{2}x$，常数项是$2$.
(3)$s = 3 - 2t^{2}$是二次函数，二次项是$-2t^{2}$，不含一次项，常数项是$3$.
(4)$y = 2x(x^{2}+3x - 1)$不是二次函数.
(5)$y = 1-\sqrt{2}x^{2}$是二次函数，二次项是$-\sqrt{2}x^{2}$，不含一次项，常数项是$1$.

6. 教材P30想一想·拓展 (2024·山东烟台芝罘区期中)下列所涉及的两个变量满足的函数关系属于二次函数的是(　　　)．
A. 等边三角形的面积S与等边三角形的边长x
B. 放学时，当小希骑车速度一定时，小希离学校的距离s与小希骑车的时间t
C. 当工作总量一定时，工作效率y与工作时间t
D. 正方形的周长y与边长x

答案： A

7. 教材P31习题T4·变式 某厂七月份的产值是10万元，设第三季度每个月产值的增长率相同，都为$x(x＞0)$，如果九月份的产值为y万元，那么y关于x的函数表达式为________．(不要求写出x的取值范围)

答案： $y = 10(1 + x)^{2}$

8. 跨学科 水的体积公式 教材P30习题T1·变式 标准大气压下，质量一定的水的体积$V(cm^{3})$与温度$t(^{\circ}C)$之间的关系满足二次函数$V=\frac{1}{8}t^{2}+104(t＞0)$，则当温度为4℃时，水的体积为________$cm^{3}$．

答案： 106 [解析]$\because$标准大气压下，质量一定的水的体积$V(\text{cm}^{3})$与温度$t(^{\circ}\text{C})$之间的关系满足二次函数$V=\frac{1}{8}t^{2}+104(t\gt0)$，$\therefore$当$t = 4^{\circ}\text{C}$时，$V=\frac{1}{8}\times4^{2}+104 = 106$，$\therefore$水的体积为$106\text{ cm}^{3}$.

9. 教材P31习题T3·改编 已知菱形的两条对角线长分别为x cm和2x cm，写出菱形的面积$S(cm^{2})$与x(cm)之间的函数表达式，并判断该函数是否为二次函数.

答案： 由题意，可得$S=\frac{1}{2}\times2x\cdot x = x^{2}$，即$S = x^{2}(x\gt0)$，该函数为二次函数.