《2025年1课3练江苏人民出版社九年级数学下册北师大版》

1 教材P6随堂练习T1·变式（2024·江苏扬州邗江区期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3,1)，则sinα的值为(　　　)．
A. $\frac{1}{3}$ B. $\frac{\sqrt{10}}{10}$ C. $\frac{\sqrt{10}}{3}$ D. $\frac{3\sqrt{10}}{10}$
　

答案： B

2 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于sin A的是(　　　)．
A. $\frac{CD}{AC}$ B. $\frac{BD}{BC}$ C. $\frac{BC}{AB}$ D. $\frac{CD}{CB}$
　

答案： D

3 教材P6习题T2·变式 如图，梯子跟地面的夹角为∠α，关于∠α的三角函数值与梯子的倾斜程度和叙述，不正确的是(　　　)．
A. 锐角∠α越大，梯子越陡
B. sinα的值越大，梯子越陡
C. cosα的值越小，梯子越缓
D. tanα的值越小，梯子越缓
　

答案： C [解析]锐角∠α越大，梯子越陡，故A正确；sinα的值越大，∠α越大，梯子越陡，故B正确；cosα的值越小，∠α越大，梯子越陡，故C不正确；tanα的值越大，∠α越大，梯子越陡，tanα的值越小，∠α越小，梯子越缓，故D正确. 故选C.
归纳总结 本题考查了锐角三角函数的增减性：对于正弦和正切函数，函数值随角度的增大而增大；对于余弦函数，函数值随角度的增大而减小.

4 教材P5想一想·拓展 如图，甲、乙表示两个楼梯.
(1)求tan A,sin A,cos A,tan D,sin D,cos D的值；
(2)试比较两个楼梯中哪一个更陡.
　

答案：
(1)$\tan A=\frac{3}{4}$，$\sin A=\frac{3}{5}$，$\cos A=\frac{4}{5}$，$\tan D=\frac{5}{12}$，$\sin D=\frac{5}{13}$，$\cos D=\frac{12}{13}$.
(2)
∵$\tan A＞\tan D$(或$\sin A＞\sin D$或$\cos A＜\cos D$)，
∴甲楼梯更陡.

5 (广东深圳实验学校自主招生)在△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，若b²=ac，则sin A的值为________．

答案： $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ [解析]
∵在△ABC中，∠C = 90°，
∴$c^{2}=a^{2}+b^{2}$.
∵$b^{2}=ac$，
∴$c^{2}=a^{2}+ac$，等式两边同时除以$ac$，得$\frac{c}{a}=\frac{a}{c}+1$，令$\frac{a}{c}=x$，则有$\frac{1}{x}=x + 1$，
∴$x^{2}+x - 1 = 0$，解得$x_{1}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$x_{2}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$(舍去).当$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$时，$x\neq0$，
∴$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$是原分式方程的解，
∴$\sin A=\frac{a}{c}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.

6 (2024·江苏扬州邗江区期末)如图，A，B，C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长相同，那么∠BAC的正弦值为________．
　

答案：
$\frac{\sqrt{2}}{2}$ [解析]如图，连接BC.
∵$CB=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$，$AB=\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{10}$，
∴$CB^{2}+CA^{2}=AB^{2}$，

∴△ACB为直角三角形，且∠ACB = 90°，
∴$\sin\angle BAC=\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即∠BAC的正弦值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$.

7 教材P6随堂练习T2·变式 如图，在△ABC中，AB=AC=13，cos C=$\frac{5}{13}$，中线BE和AD交于点F. 求△ABC的面积以及sin∠EBC的值.
　

答案：
∵在△ABC中，AB = AC，AD是中线，
∴AD⊥BC，∠ABC = ∠C.
∵在Rt△ABD与Rt△ACD中，AB = AC = 13，$\cos\angle ABC=\cos C=\frac{5}{13}$，
∴$BD = DC = AB\cdot\cos\angle ABC = 5$，
∴$BC = 10$，$AD=\sqrt{AB^{2}-BD^{2}}=\sqrt{13^{2}-5^{2}} = 12$，
∴$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AD = 60$.
∵中线BE和AD交于点F，
∴点F为△ABC的重心，
∴$DF=\frac{1}{3}AD = 4$，
∴在Rt△BDF中，$BF=\sqrt{DF^{2}+BD^{2}}=\sqrt{4^{2}+5^{2}}=\sqrt{41}$，
∴$\sin\angle EBC=\frac{DF}{BF}=\frac{4\sqrt{41}}{41}$.

8 教材P6做一做·改编(2024·安徽池州期末)如图，在△ABC中，AB=AC=10，sin B=$\frac{4}{5}$.
(1)求边BC的长度；
(2)求cos A的值.
　

答案：

(1)如图，过点A作AD⊥BC于点D.
∵AB = AC = 10，
∴BC = 2BD.在Rt△ABD中，

∵$\sin B=\frac{AD}{AB}=\frac{4}{5}$，
∴$AD = AB\cdot\sin B = 10\times\frac{4}{5}=8$，
∴$BD=\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}} = 6$，
∴$BC = 2BD = 12$.
(2)如图，过点B作BH⊥AC于点H.
∵$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BH=\frac{1}{2}BC\cdot AD$，
∴$BH=\frac{BC\cdot AD}{AC}=\frac{12\times8}{10}=\frac{48}{5}$，
∴$AH=\sqrt{AB^{2}-BH^{2}}=\sqrt{10^{2}-(\frac{48}{5})^{2}}=\frac{14}{5}$，
∴$\cos\angle BAC=\frac{AH}{AB}=\frac{\frac{14}{5}}{10}=\frac{7}{25}$.