《2025年1课3练江苏人民出版社九年级数学下册北师大版》

5. 跨学科　光的折射 (2024·贵州中考)综合与实践小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习.
[实验操作]
第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁AC的夹角为∠A；
第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中点E处时，停止注水.（直线NN'为法线，AO为入射光线，OD为折射光线）
[测量数据]
如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，N'在同一平面内，测得AC = 20 cm，∠A = 45°，折射角∠DON = 32°.
[问题解决]
根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
(1)求BC的长；
(2)求B，D之间的距离(结果精确到0.1 cm).
（参考数据：sin 32°≈0.52，cos 32°≈0.84，tan 32°≈0.62）
　　　　　　　　　　

答案：
(1)
∵在Rt△ABC中,∠A=45°,
∴∠ABC=45°,
∴BC=AC=20 cm.
(2)由题可知ON=EC=$\frac{1}{2}$AC=10 cm.
又∠ABC=45°,
∴NB=ON=10 cm.
∵在Rt△DON中,∠DON=32°,
∴DN=ON·tan∠DON=10·tan32°≈10×0.62=6.2(cm),
∴BD=BN - DN=10 - 6.2=3.8(cm).
故B,D之间的距离约为3.8 cm.

6. 新情境　数学与生活融合 (2024·苏州中考)图(1)是某种可调节支撑架，BC为水平固定杆，竖直固定杆AB⊥BC，活动杆AD可绕点A旋转，CD为液压可伸缩支撑杆，已知AB = 10 cm，BC = 20 cm，AD = 50 cm.
(1)如图(2)，当活动杆AD处于水平状态时，求可伸缩支撑杆CD的长度；(结果保留根号)
(2)如图(3)，当活动杆AD绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度α，且tan α = $\frac{3}{4}$(α为锐角)时，求此时可伸缩支撑杆CD的长度.（结果保留根号）
　　

答案：

(1)如图
(1),过点C作CE⊥AD,垂足为E.

由题意,可知∠A=∠B=90°.
又CE⊥AD,
∴四边形ABCE为矩形.
∵AB=10 cm,BC=20 cm,
∴CE=10 cm,AE=20 cm.
∵AD=50 cm,
∴ED=30 cm.
∴在Rt△CED中,CD=$\sqrt{CE^{2}+ED^{2}}$=$\sqrt{10^{2}+30^{2}}$=10$\sqrt{10}$(cm).
故可伸缩支撑杆CD的长度为10$\sqrt{10}$ cm.
(2)如图
(2),过点D作DF⊥BC,交BC的延长线于点F,交AD'于点G.

由题意,可知四边形ABFG为矩形,
∴∠AGD=90°.
∵在Rt△AGD中,tanα=$\frac{DG}{AG}$=$\frac{3}{4}$,
∴DG=$\frac{3}{4}$AG,
∴AD=$\sqrt{AG^{2}+DG^{2}}$=$\frac{5}{4}$AG.
∵AD=50 cm,
∴AG=40 cm,
∴DG=30 cm,BF=AG=40 cm,FG=AB=10 cm,
∴CF=20 cm,DF=40 cm,
∴在Rt△CFD中,CD=$\sqrt{CF^{2}+DF^{2}}$=$\sqrt{20^{2}+40^{2}}$=20$\sqrt{5}$(cm).
故此时可伸缩支撑杆CD的长度为20$\sqrt{5}$ cm.