《2025年1课3练江苏人民出版社九年级数学下册北师大版》

9 新情境 卫星发射 (2024·长春中考改编)2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射. 当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，∠ARL=θ，则此时火箭距海平面的高度AL为(　　　)．
A. asinθ千米 B. $\frac{a}{\sin\theta }$千米
C. acosθ千米 D. $\frac{a}{\cos\theta }$千米
　

答案： A

10 (湖南益阳一中自主招生)若α为锐角，化简：$\sqrt{1 - 2\sin\alpha+\sin^{2}\alpha }$=________．

答案： $1-\sin\alpha$ [解析]
∵α为锐角，
∴$0＜\sin\alpha＜1$，
∴$\sqrt{(1 - 2\sin\alpha+\sin^{2}\alpha)}=\sqrt{(1-\sin\alpha)^{2}}=1-\sin\alpha$.
知识拓展 当α为锐角，α的正弦值$\sin\alpha$小于1.

11 如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC，垂足为E. 若sin∠ADE=$\frac{4}{5}$，AD=4，则AB的长为________．
　

答案： 3

12 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD，CB相交于点H，E，AH=2CH.
(1)求sin B的值；
(2)若CD=$\sqrt{5}$，求BE的值.
　

答案：
(1)
∵∠ACB = 90°，CD是斜边AB上的中线，
∴$CD = BD=\frac{1}{2}AB$，
∴∠B = ∠BCD.
∵AE⊥CD，
∴∠CAH+∠ACH = 90°.又∠ACB = 90°，
∴∠BCD+∠ACH = 90°.
∴∠B = ∠BCD = ∠CAH，即∠B = ∠CAH.
∵$AH = 2CH$，
∴由勾股定理，得$AC=\sqrt{5}CH$.
∴$CH:AC = 1:\sqrt{5}$，
∴$\sin B=\sin\angle CAH=\frac{CH}{AC}=\frac{\sqrt{5}}{5}$.
(2)
∵$\sin B=\frac{\sqrt{5}}{5}$，$AB = 2CD = 2\sqrt{5}$，
∴$AC:AB = 1:\sqrt{5}$，
∴$AC = 2$.设$CE = x(x＞0)$，则$AE=\sqrt{5}x$，由勾股定理，得$x^{2}+2^{2}=(\sqrt{5}x)^{2}$，解得$x = 1$或$x=-1$(舍去)，
∴$CE = x = 1$.在Rt△ABC中，$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$.
∵$AB = 2\sqrt{5}$，
∴$BC = 4$，
∴$BE = BC - CE = 3$.

13 中考新考法 思想方法型阅读理解题 在初中，我们学习过锐角的正弦、余弦和正切三种三角函数，为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：
设有一个角α，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为x轴的正半轴Ox，建立平面直角坐标系(如图)，在角α的终边上任取一点P，它的横坐标是x，纵坐标是y，点P和原点(0,0)的距离为r = $\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ (r总是正的)，然后把角α的三角函数规定为：
sinα = $\frac{y}{r}$，cosα = $\frac{x}{r}$，tanα = $\frac{y}{x}$.
根据新定义回答下列问题：
(1)若270°＜α＜360°，则角α的三角函数值sinα，cosα，tanα，其中取正值的是________；
(2)若角α的终边与直线y = 2x重合，则sinα+cosα =________；
(3)若角α是钝角，其终边上一点P(x,$\sqrt{5}$)，且cosα = $\frac{\sqrt{2}}{4}x$，求tanα的值；
(4)若0°≤α≤90°，求sinα+cosα的取值范围.
　

答案：
(1)$\cos\alpha$
(2)$\pm\frac{3\sqrt{5}}{5}$ [解析]
∵角α的终边与直线$y = 2x$重合，
∴$\sin\alpha=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\cos\alpha=\frac{\sqrt{5}}{5}$或$\sin\alpha=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\cos\alpha=-\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴$\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{3\sqrt{5}}{5}$或$\sin\alpha+\cos\alpha=-\frac{3\sqrt{5}}{5}$.
(3)
∵$\cos\alpha=\frac{x}{r}=\frac{\sqrt{2}}{4}x$，
∴$r = 2\sqrt{2}$，
∴$x=-\sqrt{3}$，
∴$\tan\alpha=\frac{y}{x}=-\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{15}}{3}$.
(4)若$0^{\circ}\leq\alpha\leq90^{\circ}$，设$OP = 1$，则$\sin\alpha+\cos\alpha=y + x$.当$\alpha = 0^{\circ}$时，$y + x = x = OP = 1$；当$\alpha = 90^{\circ}$时，$y + x = y = OP = 1$；当$0^{\circ}＜\alpha＜90^{\circ}$时，根据三角形两边之和大于第三边，得$y + x＞1$，
∴$\sin\alpha+\cos\alpha＞1$.
∵$x^{2}+y^{2}=1$，
∴$(x + y)^{2}-2xy = 1$.
∵$(x - y)^{2}\geq0$，
∴$x^{2}+y^{2}-2xy\geq0$，
∴$x^{2}+y^{2}\geq2xy$，
∴$(x + y)^{2}=1 + 2xy\leq1+(x^{2}+y^{2}) = 2$.
∵当$x = y$时，$(x + y)^{2}$的值最大，此时$x = y=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$(x + y)^{2}\leq2$，
∴$x + y\leq\sqrt{2}$.故$\sin\alpha+\cos\alpha$的取值范围为$1\leq\sin\alpha+\cos\alpha\leq\sqrt{2}$.