《2025年1课3练江苏人民出版社九年级数学下册北师大版》

1 如图，A，B是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在点C处遇险发出求救信号，此时测得点C位于观测点A的北偏东45°方向上，同时位于观测点B的北偏西60°方向上，且测得点C与观测点A的距离为25$\sqrt{2}$海里.
(1)求观测点B与点C之间的距离；
(2)有一艘救援船位于观测点B的正南方向且与观测点B相距30海里的点D处，在接到海轮的求救信号后立即前往营救，其航行速度为42海里/时，求救援船到达点C需要的最少时间.

答案：

(1)如图，过点C作CE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DB，交DB的延长线于点F.
由题意，得∠ACE = ∠CAE = 45°，AC = 25√2海里，
∴AE = CE = AC·cos 45° = 25海里.
∵∠CBF = 60°，
∴∠CBE = 30°，
∴BE = $\frac{CE}{\tan 30^{\circ}}$ = 25√3海里，
∴BC = 2CE = 50海里.
故观测点B与点C之间的距离为50海里.

(2)
∵CF⊥DB，FB⊥EB，CE⊥AB，
∴四边形CEBF是矩形.
∴FB = CE = 25海里，CF = BE = 25√3海里，
∴DF = BD + BF = 30 + 25 = 55(海里).
在Rt△DCF中，根据勾股定理，得
CD = $\sqrt{CF^{2}+DF^{2}}$ = $\sqrt{(25\sqrt{3})^{2}+55^{2}}$ = 70(海里)，
∴救援船到达点C需要的最少时间为70÷42 = $\frac{5}{3}$(小时).
故救援船到达点C需要的最少时间为$\frac{5}{3}$小时.

2 (2023·聊城中考)东昌湖西岸的明珠大剧院，隔湖与远处的角楼、城门楼、龙堤、南关桥等景观遥相呼应. 如图所示，城门楼B在角楼A的正东方向520 m处，南关桥C在城门楼B的正南方向1200 m处. 在明珠大剧院P测得角楼A在北偏东68.2°方向，南关桥C在南偏东56.31°方向(点A，B，C，P四点在同一平面内)，求明珠大剧院到龙堤BC的距离. (结果精确到1 m，参考数据：sin 68.2°≈0.928，cos 68.2°≈0.371，tan 68.2°≈2.50，sin 56.31°≈0.832，cos 56.31°≈0.555，tan 56.31°≈1.50)

答案：
如图，过点P作PE⊥BC于点E，过点A作AD⊥PE于点D，则四边形ADEB是矩形，

∴DE = AB = 520 m. 设PD = x m.
在Rt△APD中，
∵∠PAD = 68.2°，
∴AD = $\frac{PD}{\tan 68.2^{\circ}}$ ≈ $\frac{x}{2.5}$(m)，
∴BE = AD = $\frac{2x}{5}$ m，
∴PE = PD + DE = (x + 520)m，CE = BC - BE = $(1200 - \frac{2x}{5})$ m.
在Rt△PCE中，tan C = tan 56.31° = $\frac{PE}{CE}$ = $\frac{x + 520}{1200 - \frac{2x}{5}}$ ≈ 1.5，解得x = 800，经检验，x = 800是原方程的解，
∴PD = 800 m，
∴PE = PD + DE = 800 + 520 = 1320(m).
故明珠大剧院到龙堤BC的距离约为1320 m.
方法诠释 通过作垂线构造直角三角形，再利用直角三角形的边角关系和方位角进行计算是常用的方法.

3 中考新考法 满足条件的结论开放 (2024·杭州滨江区模拟改编)如图是两辆某品牌小汽车平行停放的停车场的平面示意图. 为节省空间，规定两辆小汽车水平距离l不超过1.5 m. 已知右边小汽车车门OA为1.2米，车门打开最大角度∠AOB为68°. 为了保证右边小汽车在打开车门最大角时不碰到左边小汽车，两辆小汽车水平距离l可以是多少米？请说明理由. (结果精确到0.1米，参考数据：sin 68°≈0.93，cos 68°≈0.37，tan 68°≈2.48)

答案：
两辆小汽车水平距离可以是1.2米. (答案不唯一)理由如下：
如图，过点A作AC⊥OB，垂足为C.
在Rt△AOC中，∠AOB = 68°，
OA = 1.2米，
∴AC = OA·sin 68° ≈ 1.2×0.93 = 1.116(米).
∵规定两辆小汽车水平距离l不超过1.5 m，结果精确到0.1米，
∴为保证右边小汽车在打开车门最大角时不会碰到左边小汽车，两辆小汽车水平距离的取值范围是1.2米≤l≤1.5米.
故两辆小汽车水平距离可以是1.2米.