《2025年1课3练江苏人民出版社九年级数学下册北师大版》

1 新情境 桥洞过船 (2024·邯郸十三中模拟改编)如图，是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为O，直径AB是河底截线，弦CD是水位线，CD//AB，AB = 20 m，OE⊥CD于点E.
　(1)当测得水面宽CD = 10$\sqrt{3}$ m时，求此时水位的高度OE；
　(2)当水位的高度比(1)上升1 m时，有一艘宽为10 m，船舱顶部高出水面2 m的货船要经过桥洞(船舱截面为矩形MNPQ)，请通过计算判断该货船能否顺利通过桥洞.
　　　　　　　　

答案：

(1)
∵OE⊥CD，CD = 10√3 m，
∴DE = 1/2CD = 5√3 m.
∵OD = OB = 1/2AB = 10 m，
∴OE = √(OD² - DE²) = √(10² - (5√3)²) = 5(m).
故此时水位的高度OE是5 m.
(2)该货船能顺利通过桥洞. 理由如下：
由
(1)中水位高度为5 m可知此时OE = 5 + 1 = 6(m)，
如图，延长OE交MQ于点F，连接OM，则OF⊥MQ，

∵货船宽为10 m，船舱顶部高出水面2 m，
∴OF = 6 + 2 = 8(m)，货船居中行驶时MF = 1/2MQ = 1/2×10 = 5(m)，
∴OM = √(OF² + MF²) = √(8² + 5²) = √89(m).
∵√89＜10，
∴该货船能顺利通过桥洞.

2 中考新考法 新定义问题 新定义：在同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦.
　(1)如图(1)，AB，AC是⊙O的等垂弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E. 求证：四边形ADOE是正方形；
　(2)如图(2)，AB是⊙O的弦，作OD⊥OA，OC⊥OB，分别交⊙O于D，C两点，连接CD. 求证：AB，CD是⊙O的等垂弦.
　　　　

答案：

(1)
∵AB，AC是⊙O的等垂弦，OD⊥AB，OE⊥AC
∴∠A = ∠ADO = ∠AEO = 90°，
∴四边形ADOE是矩形.
∵AB，AC是⊙O的等垂弦，
∴AB = AC.
∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴AD = 1/2AB，AE = 1/2AC，
∴AD = AE，
∴四边形ADOE是正方形.
(2)如图，连接AC，设AB交CD于点E.
∵OD⊥OA，OC⊥OB，
∴∠AOD = ∠BOC = 90°，
∴∠AOB = ∠COD，
∴AB = CD.
∵∠BAC = 1/2∠BOC = 45°，
∠ACD = 1/2∠AOD = 45°，
∴∠BEC = ∠ACD + ∠BAC = 90°，
∴AB⊥CD.
∵AB = CD，AB⊥CD，
∴AB，CD是⊙O的等垂弦.

3 (2024·湖北武汉洪山区华中科大附中月考)如图，AB为⊙O的直径，弦AC，BD相交于点E，∠BDC + 2∠ACD = 90°.
　(1)求证：⌢AD=⌢CD；
　(2)若AC = 4$\sqrt{2}$，tan∠ABD = $\frac{\sqrt{2}}{2}$，求圆的半径r长度.
　　　　　　　　　　　　　

答案：

(1)如图，连接OC，
在⊙O中，∠BDC = 1/2∠BOC，∠AOD = 2∠ACD.
∵∠BDC + 2∠ACD = 90°，
∴1/2∠BOC + ∠AOD = 90°，
∴∠BOC + 2∠AOD = 180°.
∵∠BOC + ∠AOD + ∠DOC = 180°，
∴∠AOD = ∠DOC，
∴AD = CD.
(2)如图，记AC与OD交于点F.
∵AD = AD，
∴∠ABD = ∠ACD.
∵OA = OC，∠AOD = ∠DOC，
∴OD⊥AC，CF = AF.
∵AC = 4√2，
∴CF = 1/2AC = 2√2.
∵∠ABD = ∠ACD，
∴tan∠ACD = tan∠ABD = √2/2，
∴在Rt△FCD中，tan∠ACD = DF/CF = DF/2√2 = √2/2，
∴DF = 2.
在Rt△OFC中，由CF² + OF² = OC²，
得(2√2)² + (r - 2)² = r²，解得r = 3.
故圆的半径r长度为3.

4 中考新考法 新定义问题 (2024·江苏扬州邗江区梅苑双语学校期末)关于x的一元二次方程ax² + $\sqrt{2}$cx + b = 0，如果a，b，c满足a² + b² = c²且a≠0，那么我们把这样的方程称为“勾系一元二次方程”. 请解决下列问题：
　(1)判断方程x² + 2x + 1 = 0是否是“勾系一元二次方程”，并说明理由；
　(2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax² + $\sqrt{2}$cx + b = 0必有实数根；
　(3)如图，已知AB，CD是半径为8的⊙O的两条平行弦，AB = 2a，CD = 2b，且关于x的方程ax² + 8$\sqrt{2}$x + b = 0是“勾系一元二次方程”，则∠BAC的度数为________.
　　　　　　　　　　　　　

答案：

(1)方程x² + 2x + 1 = 0是“勾系一元二次方程”. 理由如下：x² + 2x + 1 = 0，
由题意知a = 1，b = 1，c = √2，
满足1² + 1² = (√2)²且1≠0，
故方程x² + 2x + 1 = 0是“勾系一元二次方程”.
(2)
∵ax² + √2cx + b = 0是“勾系一元二次方程”，
∴a² + b² = c²且a≠0.
∵Δ = (√2c)² - 4ab = 2c² - 4ab = 2a² + 2b² - 4ab = 2(a - b)²≥0，
∴ax² + √2cx + b = 0必有实数根.
(3)45 [解析]如图，连接OC，OB，作OE⊥CD于点E，延长EO交AB于点F.
∵关于x的方程ax² + 8√2x + b = 0是“勾系一元二次方程”，
∴a² + b² = 8².
∵AB//CD，OE⊥CD，
∴OF⊥AB，
∴∠OEC = ∠OFB = 90°，
∴CE² + OE² = OC²，OF² + BF² = OB²，DE = EC = b，BF = AF = a.
∵OD = OB = OC = 8，
∴OE = √(OC² - EC²) = √(8² - b²) = a，
OF = √(OB² - BF²) = √(8² - a²) = b，
∴CE = OF，OE = BF，
∴△OEC≌△BFO(SSS)，
∴∠EOC = ∠OBF.
∵∠OBF + ∠BOF = 90°，
∴∠EOC + ∠BOF = 90°，
∴∠COB = 90°，
∴∠BAC = 1/2∠COB = 45°.