《2025年1课3练江苏人民出版社九年级数学下册北师大版》

9 (2024·广东三模)在平面直角坐标系中，抛物线$y = - x^{2}+2ax + c(a＞0)$的顶点到x轴的距离为6，与x轴两个交点之间的距离为4a，则该抛物线与y轴的交点坐标为(　　　)．
A. $(0,\frac{3}{2})$　　　　　　
　B. $(0,\frac{\sqrt{6}}{2})$
C. $(0,\frac{3\sqrt{2}}{2})$　　　　　
　D. $(0,\frac{9}{2})$

答案： D

10 (2024·河北一模)二次函数$y = a(x - m)(x - m + 6)(a\neq0)$的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为点D，则①$D(m - 3,-9a)$；②$\triangle ABD$的面积为27a；③当$a＞0$时，若$(m - 5,y_{1})$，$(m,y_{2})$在图象上，则$y_{1}＜y_{2}$．上述结论正确的个数为(　　　)．
A. 0　　
　B. 1　　
　C. 2　　
　D. 3

答案： C [解析]令$y = 0$,则$0 = a(x - m)(x - m + 6)$.
又$a\neq0$,$\therefore x = m$或$x = m - 6$,
$\therefore A,B$两点为$(m,0),(m - 6,0)$,
$\therefore$对称轴是直线$x = m - 3$.
当$x = m - 3$时,$y = a\times(-3)\times3 = -9a$,
$\therefore$顶点坐标为$D(m - 3,-9a)$,故①正确;
$\because A,B$两点为$(m,0),(m - 6,0)$,$\therefore AB = 6$.
又$D(m - 3,-9a)$,
$\therefore\triangle ABD$的面积$=\frac{1}{2}\times6\times|-9a| = 27|a|$,故②错误;
$\because a＞0$,
$\therefore$当抛物线上的点离对称轴越近函数值就越小.
$\because|m - 5-(m - 3)| = 2＜|m-(m - 3)| = 3$,
$\therefore y_1＜y_2$,故③正确.
$\therefore$正确的有2个. 故选C.

11 (2024·云南中考)已知抛物线$y = x^{2}+bx - 1$的对称轴是直线$x=\frac{3}{2}$．设m是抛物线$y = x^{2}+bx - 1$与x轴交点的横坐标，记$M=\frac{m^{5}-33}{109}$．
(1)求b的值；
(2)比较M与$\frac{\sqrt{13}}{2}$的大小．

答案：
(1)$\because$抛物线$y = x^2 + bx - 1$的对称轴是直线$x = \frac{3}{2}$,$\therefore-\frac{b}{2}=\frac{3}{2}$,解得$b = -3$.
(2)由
(1)知,$b = -3$,
$\therefore$抛物线表达式为$y = x^2 - 3x - 1$.
当$y = 0$时,$0 = x^2 - 3x - 1$,解得$x=\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}$.
$\because m$是抛物线$y = x^2 + bx - 1$与$x$轴交点的横坐标,
$\therefore m=\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}$.
当$m=\frac{3 + \sqrt{13}}{2}$时,
$M=\frac{m^5 - 33}{109}=\frac{(\frac{3 + \sqrt{13}}{2})^5 - 33}{109}=\frac{3 + \sqrt{13}}{2}$,
$\because\frac{3 + \sqrt{13}}{2}-\frac{\sqrt{13}}{2}=\frac{3}{2}＞0$,$\therefore M＞\frac{\sqrt{13}}{2}$;
当$m=\frac{3 - \sqrt{13}}{2}$时,
$M=\frac{m^5 - 33}{109}=\frac{(\frac{3 - \sqrt{13}}{2})^5 - 33}{109}＜0$,
$\therefore M＜\frac{\sqrt{13}}{2}$.
综上所述,当$m=\frac{3 + \sqrt{13}}{2}$时,$M＞\frac{\sqrt{13}}{2}$;当$m=\frac{3 - \sqrt{13}}{2}$时,$M＜\frac{\sqrt{13}}{2}$.

12 教材P53习题T2·拓展 (2023·杭州十五中模拟)已知函数$y_{1} = ax^{2}+3ax + 1$与$y_{2} = ax + 5$(a为常数，且$a\neq0$)．
(1)若$a = 1$，请求出$y_{1}$，$y_{2}$的表达式，并写出$y_{1}$的对称轴；
(2)若$y_{1}$与$y_{2}$的函数图象没有交点，请求出a的取值范围；
(3)若$a＜\frac{1}{2}$，当$0＜x＜2$时，比较$y_{1}$与$y_{2}$的大小，并说明理由．

答案：
(1)当$a = 1$时,$y_1 = x^2 + 3x + 1,y_2 = x + 5$,
$\therefore y_1$的对称轴为直线$x = -\frac{3}{2}$.
(2)$\because y_1$与$y_2$的函数图象没有交点,
$\therefore$方程$ax^2 + 3ax + 1 = ax + 5$没有实数根,
$\therefore$方程$ax^2 + 2ax - 4 = 0$没有实数根,
即$\Delta = 4a^2 + 16a＜0$,解得$-4＜a＜0$.
(3)$y_1＜y_2$. 理由如下:
设$y = y_1 - y_2 = ax^2 + 2ax - 4$,
$\because$函数$y = ax^2 + 2ax - 4$的图象的对称轴为直线$x = -1$,
$\therefore$函数$y = ax^2 + 2ax - 4$的图象在$0＜x＜2$时在对称轴同侧,$y$随$x$的增大而增大或$y$随$x$的增大而减小.
当$x = 0$时,$y = -4＜0$;
当$x = 2$时,$y = 4a + 4a - 4 = 8a - 4$.
$\because a＜\frac{1}{2}$,$\therefore 8a - 4＜0$,即$x = 2$时,$y＜0$.
综上所述,当$0＜x＜2$时,$y＜0$,即$y_1＜y_2$.
思路引导 判断直线与抛物线交点情况,把函数表达式联立方程组,求关于$x$的一元二次方程的根的判别式的符号,由此判断交点个数.

13 中考新考法 存在性问题 (2023·黑龙江中考)如图，抛物线$y = ax^{2}+bx + 3$与x轴交于$A(-3,0)$，$B(1,0)$两点，交y轴于点C．
(1)求抛物线的表达式.
(2)抛物线上是否存在一点P，使得$S_{\triangle PBC}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
　　　　　　　　　　　

答案：

(1)将$A(-3,0),B(1,0)$两点代入抛物线$y = ax^2 + bx + 3$,得
$\begin{cases}9a - 3b + 3 = 0,\\a + b + 3 = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = -1,\\b = -2,\end{cases}$
$\therefore$抛物线的表达式为$y = -x^2 - 2x + 3$.
(2)存在,点$P$的坐标为$(-2,3)$或$(3,-12)$.
理由如下:$\because A(-3,0),B(1,0)$,$\therefore AB = 4$.
$\because$抛物线$y = ax^2 + bx + 3$与$y$轴交于点$C$,
令$x = 0$,则$y = 3$,
$\therefore$点$C$的坐标为$(0,3)$,$OC = 3$,
$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot OC=\frac{1}{2}\times4\times3 = 6$,
$\therefore S_{\triangle PBC}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}=3$.
如图,连接$BC$,作$PE// x$轴交$BC$于点$E$.

设直线$BC$的表达式为$y = kx + m$,
将点$B,C$的坐标代入,得
$\begin{cases}k + m = 0,\\m = 3,\end{cases}$解得$\begin{cases}k = -3,\\m = 3,\end{cases}$
$\therefore$直线$BC$的表达式为$y = -3x + 3$.
设点$P$的横坐标为$t$,则$P(t,-t^2 - 2t + 3)$,
设点$E$的横坐标为$x$,则$-3x + 3 = -t^2 - 2t + 3$,
解得$x=\frac{t^2 + 2t}{3}$,$\therefore E(\frac{t^2 + 2t}{3},-t^2 - 2t + 3)$,
$\therefore PE=\frac{t^2 + 2t}{3}-t=\frac{t^2 - t}{3}$,
$\therefore S_{\triangle PBC}=\frac{1}{2}\times\frac{t^2 - t}{3}\times3 = 3$,解得$t = -2$或$t = 3$,
$\therefore$点$P$的纵坐标为$-(-2)^2 - 2\times(-2) + 3 = 3$或$-3^2 - 2\times3 + 3 = -12$,
$\therefore$点$P$的坐标为$(-2,3)$或$(3,-12)$.