《2025年1课3练江苏人民出版社九年级数学下册北师大版》

4 新情境 组织研学活动 (2024·山西中考)研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动. 同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载3D的扫描仪采集纪念碑的相关数据.
数据采集：如图，点A是纪念碑顶部一点，AB的长表示点A到水平地面的距离. 航模从纪念碑前水平地面的点M处竖直上升，飞行至距离地面20米的点C处时，测得点A的仰角∠ACD＝18.4°；然后沿CN方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角∠NCD＝37°，当到达点A正上方的点E处时，测得AE＝9米.
数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，E，A，B三点在同一直线上. 请根据上述数据，计算纪念碑顶部点A到地面的距离AB的长. (结果精确到1米. 参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，sin 18.4°≈0.32，cos 18.4°≈0.95，tan 18.4°≈0.33)

答案： 延长CD交AB于点H.
由题意，得四边形CMBH为矩形，
∴CM = HB = 20米.
在Rt△ACH中，∠AHC = 90°，∠ACH = 18.4°，
∴tan∠ACH = $\frac{AH}{CH}$，
∴CH = $\frac{AH}{\tan∠ACH}$ = $\frac{AH}{\tan 18.4^{\circ}}$ ≈ $\frac{AH}{0.33}$.
在Rt△ECH中，∠EHC = 90°，∠ECH = 37°，
∴tan∠ECH = $\frac{EH}{CH}$，
∴CH = $\frac{EH}{\tan∠ECH}$ = $\frac{EH}{\tan 37^{\circ}}$ ≈ $\frac{EH}{0.75}$，
设AH = x.
∵AE = 9，
∴EH = x + 9，
∴$\frac{x}{0.33}$ = $\frac{x + 9}{0.75}$，解得x ≈ 7.1，
∴AB = AH + HB ≈ 7.1 + 20 = 27.1 ≈ 27(米).
故点A到地面的距离AB的长约为27米.

5 如图，A，B，C三个粮仓的位置如图所示，A粮仓在B粮仓北偏东26°，180千米处；C粮仓在B粮仓的正东方，A粮仓的正南方. 已知A，B两个粮仓原有存粮共450吨，根据灾情需要，现从A粮仓运出该粮仓存粮的$\frac{3}{5}$支援C粮仓，从B粮仓运出该粮仓存粮的$\frac{2}{5}$支援C粮仓，这时A，B两处粮仓的存粮吨数相等.
(1)A，B两处粮仓原有存粮各多少吨？
(2)C粮仓至少需要支援200吨粮食，问：此调拨计划能满足C粮仓的需求吗？
(3)由于气象条件恶劣，从B处出发到C处的车队来回都限速以每小时35千米的速度匀速行驶，而驾驶员小王的汽车油箱的油量最多可行驶4小时，那么小王在途中是否需要加油才能安全地回到B地？请你说明理由. (参考数据：sin 26°≈0.44，cos 26°≈0.90，tan 26°≈0.49)

答案：
(1)设A，B两处粮仓原有存粮分别为x吨，y吨.
根据题意，得
$\begin{cases}x + y = 450\\(1 - \frac{3}{5})x = (1 - \frac{2}{5})y\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 270\\y = 180\end{cases}$.
故A，B两处粮仓原有存粮分别是270吨，180吨.
(2)A粮仓支援C粮仓的粮食是$\frac{3}{5}$×270 = 162(吨)，
B粮仓支援C粮仓的粮食是$\frac{2}{5}$×180 = 72(吨)，
∴A，B两处粮仓共支援C粮仓粮食为162 + 72 = 234(吨).
∵234吨＞200吨，
∴此次调拨计划能满足C粮仓的需求.
(3)小王途中需要加油才能安全回到B地. 理由如下：
连接AC，
由题意，得∠A = 26°，AB = 180千米，∠ACB = 90°，
∴BC = AB·sin∠BAC ≈ 180×0.44 = 79.2(千米).
∵此车最多可行驶4×35 = 140(千米)，
2×79.2 = 158.4(千米)＞140千米，
∴小王途中需要加油才能安全回到B地.