《2025年1课3练江苏人民出版社九年级数学下册北师大版》

5 (2024·江西赣州信丰期中)如图，AB，AC是⊙O的两条弦，且⌢AB=⌢AC.
　(1)求证：AO平分∠BAC；
　(2)若AB = 4$\sqrt{5}$，BC = 8，求半径OA的长.
　　　　　　　　　　　　　

答案：

(1)如图
(1)，连接OB，OC，
∵AB = AC，
∴AB = AC.
在△AOB与△AOC中，{AB = AC，OB = OC，OA = OA}，
∴△AOB≌△AOC(SSS)，
∴∠1 = ∠2，
∴AO平分∠BAC.
(2)如图
(2)，延长AO交BC于点E，连接OB.
∵AB = AC，AO平分∠BAC，
∴AE⊥BC，BE = CE = 4.
设OA = x，
在Rt△ABE中，AB² - BE² = AE²，
在Rt△BOE中，OB² = OE² + BE²，
∴(4√5)² - 4² = (x + OE)²，x² = OE² + 4²，
解得x = 5，OE = 3，
∴半径OA的长为5.

6 如图，在⊙O中，∠AOB = 120°，⌢AC=⌢BC，连接AC，BC，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，DA与BO的延长线相交于点E，DO与AC相交于点F.
　(1)求证：四边形OACB是菱形；
　(2)若⊙O的半径为2，求线段DF的长.
　　　　　　　　　　　　　

答案：

(1)如图，连接OC.
∵AC = BC，
∴AC = BC.
又OA = OB，OC = OC，
∴△OAC≌△OBC(SSS)，
∴∠AOC = ∠BOC = 1/2∠AOB = 60°，
∴△AOC，△BOC是等边三角形，
∴OA = AC = CB = OB，
∴四边形OACB是菱形.
(2)由
(1)得AC = OA = 2，∠OAC = 60°.
∵四边形OACB是菱形，
∴OA//BC.
∵AD⊥BD，
∴∠ADB = 90°，
∴∠DAO = 180° - ∠ADB = 180° - 90° = 90°，
∴∠DAC = 90° - 60° = 30°.
在Rt△ACD中，∠DAC = 30°，AC = 2，
∴DC = 1/2AC = 1，AD = √3/2AC = √3.
在Rt△AOD中，由勾股定理，得
OD = √(AD² + OA²) = √(3 + 4) = √7.
∵OA//BD，
∴△CFD∽△AFO，
∴DF/OF = CD/AO = 1/2.
∴DF/DO = 1/3，
∴DF = 1/3OD = √7/3.

7 如图，已知在平行四边形ABCD中，AB = 5，BC = 8，cos B = $\frac{4}{5}$，点P是边BC上的动点，以C为圆心，CP为半径的圆与边AD交于点E，F(点F在点E的右侧)，射线CE与射线BA交于点G.
　(1)当⊙C经过点A时，求CP的长；
　(2)连接AP，当AP//CG时，求弦EF的长.
　　　　　　　　　　

答案：

(1)如图
(1)，当点A在⊙C上时，点E和点A重合，过点A作AH⊥BC于点H，
∴BH = AB·cos B = 4.
∵BC = 8，
∴CH = BC - BH = 4，
∴BH = CH，
∴AB = AC = 5，
∴CP = AC = 5.
(2)如图
(2)，过点A作AH⊥BC于点H，过点C作CQ⊥AD于点Q，连接AC，EP.
若AP//CG，则四边形APCE为平行四边形.
∵CE = CP，
∴平行四边形APCE是菱形.
∴AC⊥EP，AM = CM.
由
(1)知AB = AC = 5，
∴∠ACB = ∠B，CM = 1/2AC = 2.5.
在Rt△PCM中，
∵cos∠MCP = MC/CP = cos B = 4/5，
∴CP = 2.5/(4/5) = 25/8，
∴CE = 25/8.
在Rt△CEQ中，CQ = AH = √(5² - 4²) = 3，
∴EQ = √(CE² - CQ²) = √((25/8)² - 3²) = 7/8，
∴EF = 2EQ = 7/4.