《2025年1课3练江苏人民出版社九年级数学下册北师大版》

6. (2024·扬州江都区一模)小明不小心把一块直角三角形玻璃打碎了,他取了一个碎片(如图),若∠A = 90°,∠B = 65°,AB = 10 cm,则原直角三角形玻璃的面积约为________ cm².(参考数据:sin 65°≈0.91,cos 65°≈0.42,tan 65°≈2.14)
　　　　　　　　　　　　　　　

答案： 107 [解析]在Rt△ABC中，∠B = 65°，AB = 10 cm，
∴AC = AB·$\tan 65^{\circ}\approx10\times2.14 = 21.4$(cm)，
∴原直角三角形玻璃的面积 = $\frac{1}{2}AB·AC=\frac{1}{2}\times10\times21.4 = 107$($cm^{2}$)。

7. (2024·泰州海陵区一模)学校数学社团开展“测量两地间的距离”的数学活动,为了测量湖中A,B两点之间的距离,设计了如下方案:如图,在湖边选取C,D两点,使得A,B,C,D在同一平面上,测得CD = 35米,∠ACB = ∠BCD = 45°,∠ADC = 20°,∠ADB = 48°.
　(参考数据:tan 20°≈0.4,sin 20°≈0.3,cos 20°≈0.9,tan 48°≈1.1,sin 48°≈0.7,cos 48°≈0.7,tan 68°≈2.5,sin 68°≈0.9,cos 68°≈0.4)
　(1)求点B到CD的距离;(结果精确到1米)
　(2)求AB的长.(结果保留根号)
　　　　　　　　　　　

答案：

(1)如图，过点B作BE⊥CD，垂足为E，
设CE = x米。
∵CD = 35米，
∴DE = CD - CE = (35 - x)米。
在Rt△BCE中，∠BCD = 45°，
∴BE = CE·$\tan 45^{\circ}=x$米。
在Rt△BDE中，∠BDE = ∠ADB + ∠ADC = 68°，
∴BE = DE·$\tan 68^{\circ}\approx2.5(35 - x)$米，
∴x = 2.5(35 - x)，解得x = 25，
∴CE = BE = 25米。
故点B到CD的距离约为25米。

(2)如图，过点A作AF⊥BE，垂足为F，
∵∠ACB = ∠BCD = 45°，
∴∠ACD = ∠ACB + ∠BCD = 90°。
由题意，得AC = EF，AF = CE = 25米，
在Rt△ACD中，∠ADC = 20°，CD = 35米，
∴AC = CD·$\tan 20^{\circ}\approx35\times0.4 = 14$(米)，
∴EF = AC = 14米，
∴BF = BE - EF = 25 - 14 = 11(米)。
在Rt△ABF中，AB = $\sqrt{AF^{2}+BF^{2}}=\sqrt{25^{2}+11^{2}}=\sqrt{746}$(米)。故AB的长约为$\sqrt{746}$米。

8. 亲爱的同学们,在我们进入高中以后,将还会学到三角函数公式:sin(α + β) = sin α·cos β + cos αsin β,cos(α + β) = cos αcos β - sin αsin β.
例:sin 75° = sin(30° + 45°) = sin 30°cos 45° + cos 30°sin 45° = $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$.
　(1)试仿照例题,求出cos 75°的准确值;
　(2)我们知道:tan α = $\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$,试求出tan 75°的准确值;
　(3)根据所学知识,请你巧妙地构造一个合适的直角三角形,求出tan 75°的准确值(要求分母有理化),和(2)中的结论进行比较.

答案：

(1)
∵$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$，
∴$\cos 75^{\circ}=\cos(30^{\circ}+45^{\circ})=\cos 30^{\circ}\cos 45^{\circ}-\sin 30^{\circ}\sin 45^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$。
(2)
∵$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$，
∴$\tan 75^{\circ}=\frac{\sin 75^{\circ}}{\cos 75^{\circ}}=\frac{\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}}{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}=2+\sqrt{3}$。
(3)如图，$\tan 75^{\circ}=\tan\angle CBD=\frac{CD}{BC}=\frac{\sqrt{3}a + 2a}{a}=\sqrt{3}+2$。与
(2)中的结论一样。

9. (2024·中山一模)如图,在△ABC中,AB = 13,AC = 8,cos∠BAC = $\frac{5}{13}$,BD⊥AC,垂足为D,E是BD的中点,连接AE并延长,交边BC于点F.
　(1)求∠EAD的正切值;
　(2)求$\frac{BF}{CF}$的值.
　　　　　　　　

答案：

(1)
∵BD⊥AC，
∴∠ADE = 90°。
在Rt△ADB中，AB = 13，$\cos\angle BAC=\frac{5}{13}$，
∴AD = 5。
由勾股定理，得BD = $\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}=\sqrt{13^{2}-5^{2}} = 12$。
∵E是BD的中点，
∴ED = 6，
∴$\tan\angle EAD=\frac{DE}{AD}=\frac{6}{5}$。
(2)如图，过点D作DG//AF交BC于点G。

∵AC = 8，AD = 5，
∴CD = 3。
∵DG//AF，
∴$\frac{CD}{AD}=\frac{CG}{FG}=\frac{3}{5}$。
设CG = 3x，则FG = 5x。
∵EF//DG，BE = ED，
∴BF = FG = 5x，
∴$\frac{BF}{CF}=\frac{5x}{8x}=\frac{5}{8}$。