《2025年1课3练江苏人民出版社九年级数学下册北师大版》

13 新情境 建设美丽乡村 “美丽乡村”建设全面改善了农村环境面貌，吸引大量返乡人员在家乡创业，某村结合本村优势成立了合作社，计划投资开展水产养殖和草莓种植，根据市场调查与预测，水产养殖的利润$y_{1}$与投资量$x(x\geqslant0)$成正比例关系，如图(2)所示；草莓种植的利润$y_{2}$与投资量$x$成二次函数关系，如图(1)所示.（注：利润与投资量的单位都是万元）
(1)直接写出利润$y_{1}$与$y_{2}$关于投资量$x$的函数关系式；
(2)如果该村合作社以8万元资金投入水产养殖和草莓种植，求出获得的总利润$w$（万元）与投资水产养殖$m$（万元）的关系式

答案：
(1)设$y_{1}=kx(x\geqslant0)$，$y_{2}=ax^{2}(x\geqslant0)$.
把$P(1,2)$代入$y_{1}=kx$，得$k = 2$；
把$Q(2,2)$代入$y_{2}=ax^{2}$，得$2 = 4a$，解得$a=\frac{1}{2}$.
$\therefore y_{1}=2x(x\geqslant0)$，$y_{2}=\frac{1}{2}x^{2}(x\geqslant0)$.
(2)设投入水产养殖的资金为m万元，则投入草莓种植的资金为$(8 - m)$万元.
由题意，得$w = 2m+\frac{1}{2}(8 - m)^{2}=\frac{1}{2}m^{2}-6m + 32$.

14 中考新考法 满足条件的结论开放 （2023·福州仓山区三模）如图，在平面直角坐标系$xOy$中，直线$y = kx - 3(k\neq0)$与抛物线$y = -x^{2}$相交于$A,B$两点（点$A$在点$B$的左侧），点$B$关于$y$轴的对称点为$B'$.
(1)当$k = 2$时，求$A,B$两点的坐标.
(2)连接$OA,OB,AB',BB'$，若$\triangle B'AB$的面积与$\triangle OAB$的面积相等，求$k$的值.
(3)试探究直线$AB'$是否经过某一定点.若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.

答案：

(1)当$k = 2$时，直线为$y = 2x - 3$，
由$\begin{cases}y = 2x - 3\\y = -x^{2}\end{cases}$，得$\begin{cases}x = -3\\y = -9\end{cases}$或$\begin{cases}x = 1\\y = -1\end{cases}$，
$\therefore$点A的坐标为$(-3,-9)$，点B的坐标为$(1,-1)$.
(2)当$k＞0$时，如图
(1).
　 　 (第14题)
$\because\triangle B'AB$的面积与$\triangle OAB$的面积相等，
$\therefore OB'// AB$，$\therefore\angle OB'B=\angle B'BC$.
$\because$点B，$B'$关于y轴对称，
$\therefore OB = OB'$，$\angle ODB=\angle ODB' = 90^{\circ}$，
$\therefore\angle OB'B=\angle OBB'$，$\therefore\angle OBB'=\angle B'BC$.
$\because\angle ODB = 90^{\circ}=\angle CDB$，$BD = BD$，
$\therefore\triangle BOD\cong\triangle BCD(ASA)$，$\therefore OD = CD$.
在$y = kx - 3$中，令$x = 0$，得$y = -3$，
$\therefore$点C的坐标为$(0,-3)$，$OC = 3$，
$\therefore OD=\frac{1}{2}OC=\frac{3}{2}$，$\therefore$点D的坐标为$(0,-\frac{3}{2})$.
在$y = -x^{2}$中，令$y = -\frac{3}{2}$，得$-\frac{3}{2}=-x^{2}$，
解得$x=\frac{\sqrt{6}}{2}$或$x = -\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\therefore$点B的坐标为$(\frac{\sqrt{6}}{2},-\frac{3}{2})$.
把$B(\frac{\sqrt{6}}{2},-\frac{3}{2})$代入$y = kx - 3$，得$-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}k - 3$，
解得$k=\frac{\sqrt{6}}{2}$.
当$k＜0$时，过点$B'$作$B'F// AB$交y轴于点F，连接BF，如图
(2). 在$y = kx - 3$中，令$x = 0$，得$y = -3$，
$\therefore$点E的坐标为$(0,-3)$，$OE = 3$.
$\because\triangle B'AB$的面积与$\triangle OAB$的面积相等，
$\therefore$易证$OE = EF = 3$.
$\because$点B，$B'$关于y轴对称，
$\therefore FB = FB'$，$\angle FGB=\angle FGB' = 90^{\circ}$，$\therefore\angle FB'B=\angle FBB'$.
$\because B'F// AB$，$\therefore\angle EBB'=\angle FB'B$，
$\therefore\angle EBB'=\angle FBB'$.
$\because\angle BGE = 90^{\circ}=\angle BGF$，$BG = BG$，
$\therefore\triangle BGF\cong\triangle BGE(ASA)$，$\therefore GE = GF=\frac{1}{2}EF=\frac{3}{2}$，
$\therefore OG = OE + GE=\frac{9}{2}$，即点G的坐标为$(0,-\frac{9}{2})$.
在$y = -x^{2}$中，令$y = -\frac{9}{2}$，得$-\frac{9}{2}=-x^{2}$，
解得$x=\frac{3\sqrt{2}}{2}$或$x = -\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
$\therefore$点B的坐标为$(\frac{3\sqrt{2}}{2},-\frac{9}{2})$.
把$B(\frac{3\sqrt{2}}{2},-\frac{9}{2})$代入$y = kx - 3$，
得$-\frac{9}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}k - 3$，解得$k = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
综上所述，k的值为$\frac{\sqrt{6}}{2}$或$-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
(3)直线$AB'$经过定点$(0,3)$. 理由如下：
$\because$A，B是抛物线$y = -x^{2}$上的点，
$\therefore$设$A(m,-m^{2})$，$B(n,-n^{2})$，则$B'(-n,-n^{2})$.
联立直线AB和抛物线的表达式，整理得到$x^{2}+kx - 3 = 0$.$\because m$，n是方程$x^{2}+kx - 3 = 0$的两个根，
$\therefore mn = -3$.
设直线$AB'$的表达式为$y = px + q$，
把$A(m,-m^{2})$，$B'(-n,-n^{2})$分别代入，
得$\begin{cases}-m^{2}=mp + q\\-n^{2}=-np + q\end{cases}$，解得$\begin{cases}p = n - m\\q = -mn\end{cases}$，
$\therefore$直线$AB'$的表达式为$y=(n - m)x - mn=(n - m)x + 3$，
故直线$AB'$一定经过定点$(0,3)$.