《2025年1课3练江苏人民出版社九年级数学下册北师大版》

1. 教材P46例1·改编 如图，假设篱笆（虚线部分）的长度为14 m，则所围成矩形ABCD的最大面积是（ ）.

A. 50 m²
B. 49 m²
C. 46 m²
D. 48 m²

答案： A

2. 某农场要建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的两处各留1 m宽的门.已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为28 m，则当能建成的饲养室总占地面积最大时，中间隔开的墙长是（ ）.

A. 4米
B. 5米
C. 6米
D. 8米

答案： B

3. (2024·通辽模拟)如图，已知边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE，其中AF = 2，BF = 1，在AB上的一点P，使矩形PNDM有最大面积，则矩形PNDM的面积最大值是________.

答案：
12　[解析]如图,延长NP交EF于G点，
设PG=x,则PN=4−x,

∵PG//BF,
∴△APG∽△ABF,
∴$\frac{AG}{AF}=\frac{PG}{FB}$，即$\frac{AG}{2}=\frac{x}{1}$，
解得AG=2x，
∴MP=EG=EA+AG=2+2x,
∴$S_{矩形PNDM}=PM\cdot PN=(2 + 2x)(4 - x)=-2x^{2}+6x + 8=-2(x-\frac{3}{2})^{2}+\frac{25}{2}(0\leqslant x\leqslant1)$.
∵ - 2 ＜ 0，PG = x≤BF = 1，
∴抛物线开口向下，当x = 1时，函数有最大值为12.

4. (2024·四川成都成华区期末)如图，P是线段AB上一动点，分别以PA，PB为边长在AB同侧作等边三角形PAD和等边三角形PBC，连接CD.若AB = 6，则四边形ABCD面积的最小值是________.

答案：
$\frac{27\sqrt{3}}{4}$　[解析]如图,过点D作DK⊥AB于点K,过点C作CT⊥AB于点T.

∵△ADP和△BCP是等边三角形，
∴KP=$\frac{1}{2}$AP，TP=$\frac{1}{2}$BP，DP = AP，CP = BP，
∴KT = KP + TP=$\frac{1}{2}$AB = 3.
设AP = 2m，则BP = 6 - 2m，
∴AK = KP = m，BT = PT = 3 - m，
∴DK=$\sqrt{3}$AK=$\sqrt{3}$m，CT=$\sqrt{3}$BT = 3$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$m，
∴$S_{\triangle ADK}=\frac{1}{2}m\cdot\sqrt{3}m=\frac{\sqrt{3}}{2}m^{2}$，$S_{\triangle BCT}=\frac{1}{2}(3 - m)\cdot(3\sqrt{3}-\sqrt{3}m)=\frac{\sqrt{3}}{2}m^{2}-3\sqrt{3}m+\frac{9\sqrt{3}}{2}$，$S_{梯形DKTC}=\frac{1}{2}\cdot(\sqrt{3}m + 3\sqrt{3}-\sqrt{3}m)\times3=\frac{9\sqrt{3}}{2}$，
∴$S_{四边形ABCD}=S_{\triangle ADK}+S_{\triangle BCT}+S_{梯形DKTC}=\frac{\sqrt{3}}{2}m^{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}m^{2}-3\sqrt{3}m+\frac{9\sqrt{3}}{2}+\frac{9\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}m^{2}-3\sqrt{3}m + 9\sqrt{3}=\sqrt{3}(m-\frac{3}{2})^{2}+\frac{27\sqrt{3}}{4}$，
∴当m=$\frac{3}{2}$时，四边形ABCD面积有最小值为$\frac{27\sqrt{3}}{4}$.
归纳总结　　求图形面积的最值，可以用二次函数的最值求解.

5. 教材P47习题T2·变式 (2024·湖北中考)如图，某校劳动实践基地用总长为80 m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42 m，栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位:m)，与墙平行的一边长为y(单位:m)，面积为S(单位:m²).
(1)直接写出y与x，S与x之间的函数关系式（不要求写x的取值范围）.
(2)矩形实验田的面积S能达到750 m²吗?如果能，求x的值;如果不能，请说明理由.
(3)当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大?最大面积是多少?

答案：
(1)由题意，得2x + y = 80，
∴y = - 2x + 80.
∵S = xy，
∴$S = x(- 2x + 80)=-2x^{2}+80x.(2)$能. 理由如下：
∵y≤42，
∴ - 2x + 80≤42，
∴x≥19，
∴19≤x ＜ 40.
当S = 750时，$-2x^{2}+80x = 750，$
解得x = 25或x = 15（舍去），
∴当x = 25时，矩形实验田的面积S能达到750 m².
(3)
∵$S = - 2x^{2}+80x = - 2(x^{2}-40x)=-2(x^{2}-40x + 400 - 400)=-2(x - 20)^{2}+800，$
∴当x = 20时，S有最大值，最大面积为800 m².

6. 新情境 打造绿色校园 (2023·菏泽中考)某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药.学校已定购篱笆120米.
(1)设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积.
(2)在花园面积最大的条件下，A，B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，已知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹?

答案：
(1)设垂直于墙的边为x米，围成的矩形面积为S平方米，则平行于墙的边为(120 - 3x)米，
根据题意，得$S = x(120 - 3x)=-3x^{2}+120x=-3(x - 20)^{2}+1200(0 ＜ x ＜ 40).$
∵ - 3 ＜ 0，
∴当x = 20时，S取得最大值1200，
∴120 - 3x = 120 - 3×20 = 60，
∴垂直于墙的边为20米，平行于墙的边为60米，花园面积最大为1200平方米.
(2)设购买牡丹m株，则购买芍药1200×2 - m=(2400 - m)株.
∵学校计划购买费用不超过5万元，
∴25m + 15(2400 - m)≤50000，解得m≤1400.
故最多可以购买1400株牡丹.