《2025年1课3练江苏人民出版社九年级数学下册北师大版》

5 (2023·南京三模)已知二次函数的图象经过$A(0,-6)$，$B(-1,-5)$，$C(m,m)$三点。
(1)若点$A$为该函数图象的顶点，求二次函数的表达式；
(2)若该函数图象的对称轴为直线$x = -3$，求$m$的值；
(3)若二次函数图象开口向上，当$-1＜x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，结合图象，直接写出$m$的取值范围。

答案：
(1)由题意，设二次函数的表达式为$y = ax^{2}-6$，
代入$B(-1,-5)$，得$a - 6 = -5$，解得$a = 1$，
∴二次函数的表达式为$y = x^{2}-6$.
(2)设二次函数的表达式为$y = a(x + 3)^{2}+k$，
由题意，得$\begin{cases}9a + k = -6\\4a + k = -5\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = -\frac{1}{5}\\k = -\frac{21}{5}\end{cases}$，
∴二次函数的表达式为$y = -\frac{1}{5}(x + 3)^{2}-\frac{21}{5}$，
∴$m = -\frac{1}{5}(m + 3)^{2}-\frac{21}{5}$，
解得$m = -5$或$m = -6$.
(3)当抛物线的顶点为$(0,-6)$，且过$(-1,-5)$时，有$y = x^{2}-6$，
当$x = y$时有$x = x^{2}-6$，解得$x = -2$或$x = 3$，
当$m = -3$时，$A$，$B$，$C$三点共线不构成二次函数，当$m＜-3$时，构成开口向下的二次函数，与该二次函数开口向上矛盾，
∴$-3＜m\leq -2$或$m\geq3$.

6 (2024·邯郸十三中模拟)如图，已知抛物线$L$的对称轴为直线$x = 6$，$y$的最大值为4，且点$P(7,3)$在$L$上。
(1)求抛物线$L$的表达式；
(2)在平面直角坐标系上放置一透明矩形胶片$ABCD$，其中$A(10,-5)$，$B(10,0)$，$C(2,0)$。向右平移该胶片$m(m＞0)$个单位长度，当$L$落在胶片内部(不含边界)的部分对应的函数值$y$随$x$的增大而减小时，求$m$的取值范围。
　　　　　　　　　　

答案：

(1)由题意，得抛物线$L$的顶点坐标为$(6,4)$，
∴设抛物线$L$的表达式为$y = a(x - 6)^{2}+4$，
把$P(7,3)$代入，得$3 = a(7 - 6)^{2}+4$，解得$a = -1$，
∴抛物线$L$的表达式为$y = -(x - 6)^{2}+4$.
(2)如图，令抛物线$L$与$BC$交于点$E$，$F$，与$DA$交于点$G$，$H$，

当$y = 0$时，$-(x - 6)^{2}+4 = 0$，
解得$x_{1}=4$，$x_{2}=8$，
∴点$E$的横坐标为$4$.
当$y = -5$时，$-(x - 6)^{2}+4 = -5$，
解得$x_{1}=3$，$x_{2}=9$，
∴点$H$的横坐标为$9$.
∵向右平移后$L$落在胶片内部(不含边界)的部分对应的函数值$y$随$x$的增大而减小，
∴平移后$CD$在$E$点右侧，在$H$点左侧.
∵$C(2,0)$，
∴$4 - 2＜m＜9 - 2$，即$2＜m＜7$.

7 (2024·广东广州越秀区期中)如图，二次函数$y = ax^{2}+bx + c$经过点$A(4,-5)$，$B(5,0)$，$C(0,-5)$，点$D$是抛物线的顶点，过点$D$作$x$轴的垂线交直线$BC$于点$E$。
(1)求此二次函数的表达式及点$D$坐标；
(2)连接$CD$，求三角形$CDE$的面积；
(3)当$ax^{2}+bx + c＞0$时，$x$的取值范围是________。
　　　　　　　　　　

答案：
(1)设抛物线表达式为$y = ax(x - 4)-5$，
把$B(5,0)$代入，得$0 = a\times5\times1 - 5$，解得$a = 1$，
∴抛物线表达式为$y = x(x - 4)-5$，
即$y = x^{2}-4x - 5$.
∵$y = x^{2}-4x - 5=(x - 2)^{2}-9$，
∴$D(2,-9)$.
(2)设直线$BC$的表达式为$y = mx + n$，
把$B(5,0)$，$C(0,-5)$分别代入，
得$\begin{cases}5m + n = 0\\n = -5\end{cases}$，解得$\begin{cases}m = 1\\n = -5\end{cases}$，
∴直线$BC$的表达式为$y = x - 5$.
当$x = 2$时，$y = 2 - 5 = -3$，
∴$E(2,-3)$，
∴三角形$CDE$的面积$=\frac{1}{2}\times(-3 + 9)\times2 = 6$.
(3)$x＜-1$或$x＞5$ [解析]令$y = 0$，则$x^{2}-4x - 5 = 0$，解得$x_{1}=-1$，$x_{2}=5$，
∴二次函数的图象与$x$轴交于点$(-1,0)$和$(5,0)$，
∴$y＞0$时，$x$的取值范围为$x＜-1$或$x＞5$.

8 跨学科 电路图 (2024·重庆九龙坡模拟)某物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，将变阻器$R$的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器$R$消耗的电功率$P$随电流$I$变化的关系图象如图所示，该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，则变阻器$R$消耗的电功率$P$最大为________W。
　　

答案： 220 [解析]由图象是经过原点的一条抛物线的一部分，设抛物线表达式为$P = aI^{2}+bI$，
把$(1,165)$，$(4,0)$代入，
得$\begin{cases}a + b = 165\\16a + 4b = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = -55\\b = 220\end{cases}$，
∴抛物线表达式为$P = -55I^{2}+220I=-55(I - 2)^{2}+220$.
∵$-55＜0$，
∴当$I = 2$时，$P$取最大值$220$，
∴变阻器$R$消耗的电功率$P$最大为$220$W.