《2025年1课3练江苏人民出版社九年级数学下册北师大版》

1 (2024·江苏镇江句容期末)二次函数$y = ax^{2}+bx + c$($a\neq0$)的顶点坐标为$(-1,n)$，其部分图象如图所示.以下结论错误的是( ).
A. $abc＞0$
B. $4a - 2b + c＞0$
C. $2a - b = 0$
D. $4ac - b^{2}＞0$
　

答案： D

2 (2024·湖北十堰丹江口期中)二次函数$y = ax^{2}+bx + c$($a\neq0$)的图象如图所示.下列结论：①$2a + b = 0$；②$3a + c＞0$；③$m$为任意实数，则$a + b＞am^{2}+bm$；④若$A(x_{1},0),B(x_{2},0)$，则$x_{1}+x_{2}=2$.其中正确的有( ).
A. ①②
B. ①③
C. ①④
D. ②④
　

答案： C [解析]
∵抛物线对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=1$，
∴$b=-2a$，即$2a + b = 0$，故①正确；
∵当$x = 3$时，$y = 9a + 3b + c＜0$，
∴$9a + 3×(-2a)+c = 3a + c＜0$，故②不正确；
∵抛物线对称轴为直线$x = 1$，开口向下，
∴函数的最大值为$a + b + c$，
∴$a + b + c≥am^{2}+bm + c$（$m$为任意实数），即$a + b≥am^{2}+bm$，故③不正确；
∵$A(x_{1},0)$，$B(x_{2},0)$，对称轴为直线$x = 1$，则$x_{1}+x_{2}=2$，故④正确. 故选 C.

3 下列选项中，在同一平面直角坐标系中，二次函数$y = ax^{2}+bx + c$($a\neq0$)与一次函数$y = acx + b$的图象可能是( ).
　

答案： B

4 将抛物线$y = -(x - 1)^{2}$位于直线$y = -1$以下的图象沿直线$y = -1$向上翻折所得的图象与不翻折的部分组成新图象，若新图象与直线$y = -x + a$的交点少于4个，则$a$的取值范围是( ).
A. $a\leqslant1$或$a\geqslant\frac{9}{8}$
B. $-1\leqslant a\leqslant\frac{5}{4}$
C. $1 ＜ a\leqslant\frac{9}{8}$
D. $a\leqslant1$或$a\geqslant\frac{5}{4}$

答案：
D [解析]如图：

在$y = -(x - 1)^{2}$中，令$y = -1$得$x = 2$或$x = 0$，
∴$B(2,-1)$.
由图可知，当直线$y = -x + a$为直线$l_{1}$时，经过点$B$，新图象与直线$y = -x + a$的交点有 3 个，此时$-1 = -2 + a$，解得$a = 1$；
当直线$y = -x + a$为直线$l_{2}$时，新图象与直线$y = -x + a$的交点有 3 个，
此时$-(x - 1)^{2} = -x + a$有两个相等实数根，即$x^{2}-3x + a + 1 = 0$的判别式$\Delta = 0$，
∴$9 - 4(a + 1)=0$，解得$a = \frac{5}{4}$.
由图可知，若新图象与直线$y = -x + a$的交点少于 4 个，则$a≤1$或$a≥\frac{5}{4}$. 故选 D.

5 新情境 “爱心”图案模型 (2024·福建福州鼓楼区期末)如图，“爱心”图案是由函数$y = -x^{2}+10$的部分图象与其关于直线$y = x$的对称图形组成.点$A$是直线$y = x$上方“爱心”图案上的任意一点，点$B$是其对称点.若$AB = 8\sqrt{2}$，则点$A$的坐标是______.
　

答案：
(-2,6)或(1,9) [解析]如图，过点$A$作$AD⊥x$轴，交$x$轴于点$E$，交直线$y = x$于点$D$，连接$BD$.

设$A(a,b)$，
∵$A$，$B$关于直线$y = x$对称，
∴$\triangle ABD$是等腰直角三角形，四边形$OEDF$是正方形，
∴$B(b,a)$，$D(a,a)$.
在$Rt\triangle ABD$中，$AB^{2}=AD^{2}+BD^{2}$，
即$(8\sqrt{2})^{2}=(b - a)^{2}+(b - a)^{2}$，
∴$(b - a)^{2}=64$，
∴$b - a = 8$或$b - a = -8$(舍去)，
∴$b = a + 8$.
又$A(a,b)$在$y = -x^{2}+10$上，
∴$b = -a^{2}+10$，
∴$a + 8 = -a^{2}+10$，
∴$a^{2}+a - 2 = 0$，
∴$a_{1}=-2$，$a_{2}=1$.
①当$a = -2$时，$b = a + 8 = -2 + 8 = 6$，
∴点$A$的坐标为(-2,6)；
②当$a = 1$时，$b = a + 8 = 1 + 8 = 9$，
∴点$A$的坐标为(1,9).
综上所述，点$A$的坐标为(-2,6)或(1,9).

6 中考新考法 新定义问题 我们把对称轴和开口方向都相同的抛物线称作“同向共轴抛物线”.例如抛物线$y = -3(x - 2)^{2}+3$与$y = -\frac{1}{3}(x - 2)^{2}-1$的对称轴都是直线$x = 2$，且开口方向都向下，则这两条抛物线称作“同向共轴抛物线”.若抛物线$y = ax^{2}-x + c$与$y = \frac{1}{2}(x - 3)^{2}+1$是“同向共轴抛物线”，且两抛物线的顶点相距3个单位长度，则该抛物线的表达式为______.

答案： $y=\frac{1}{6}(x - 3)^{2}+4$或$y=\frac{1}{6}(x - 3)^{2}-2$ [解析]由题得抛物线$y=\frac{1}{2}(x - 3)^{2}+1$的顶点为(3,1)，抛物线$y = ax^{2}-x + c$的对称轴为直线$x=\frac{1}{2a}$.
∵两抛物线为“同向共轴抛物线”，且顶点相距 3 个单位长度，
∴$y = ax^{2}-x + c$的顶点为(3,4)或(3,-2)，且$\frac{1}{2a}=3$，
∴$a=\frac{1}{6}$，
∴该抛物线的表达式为$y=\frac{1}{6}(x - 3)^{2}+4$或$y=\frac{1}{6}(x - 3)^{2}-2$.

7 (2024·江苏连云港期末)若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，我们把该函数称为“美好函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“美好点”.若点$A(2,m),B(n,-5)$是关于$x$的“美好函数”$y = ax^{2}+bx + c$($a\neq0$)上的一对“美好点”，且该函数的对称轴始终位于直线$x = 4$的右侧.有下列结论①$4a + c = 0$；②$b = \frac{5}{2}$；③$-\frac{5}{16}＜a＜0$；④$\frac{55}{16}＞a + b + c＞3$.其中正确的是( ).
A. ①②③
B. ①③④
C. ①②④
D. ②③④

答案： A [解析]
∵点$A(2,m)$，$B(n,-5)$是关于$x$的“美好函数”$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$上的一对“美好点”，
∴$A$，$B$关于原点对称，
∴$m = 5$，$n = -2$，
∴$A(2,5)$，$B(-2,-5)$.
将$A(2,5)$，$B(-2,-5)$代入$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$，
得$\begin{cases}4a + 2b + c = 5,①\\4a - 2b + c = -5,②\end{cases}$
①+②，得$8a + 2c = 0$，即$4a + c = 0$；
①-②，得$4b = 10$，解得$b=\frac{5}{2}$，
故①②正确，符合题意；
∵该函数的对称轴始终位于直线$x = 4$的右侧，
∴$-\frac{b}{2a}＞4$.
∵$b=\frac{5}{2}＞0$，
∴$a＜0$，
∴$-2a＞0$，
∴$b＞-8a$，
∴$\frac{5}{2}＞-8a$，
∴$a＞-\frac{5}{16}$，
∴$-\frac{5}{16}＜a＜0$，故③正确，符合题意；
∵$4a + c = 0$，
∴$c = -4a$，
∴$a + b + c=\frac{5}{2}-3a$.
∵$-\frac{5}{16}＜a＜0$，
∴$-\frac{5}{16}×(-3)+\frac{5}{2}＞\frac{5}{2}-3a＞0×(-3)+\frac{5}{2}$，
∴$\frac{55}{16}＞a + b + c＞\frac{5}{2}$，故④错误，不符合题意.
综上所述，结论正确的是①②③. 故选 A.