《2025年1课3练江苏人民出版社九年级数学下册北师大版》

8 新情境 构建抛物线模型解决实际问题 (2024·陕西中考)一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥. 桥梁的缆索L₁与缆索L₂均呈抛物线型，桥塔AO与桥塔BC均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线FF'为x轴，以桥塔AO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.
已知：缆索L₁所在抛物线与缆索L₂所在抛物线关于y轴对称，桥塔AO与桥塔BC之间的距离OC = 100 m，AO = BC = 17 m，缆索L₁的最低点P到FF'的距离PD = 2 m. (桥塔的粗细忽略不计)
(1)求缆索L₁所在抛物线的函数表达式；
(2)点E在缆索L₂上，EF⊥FF'，且EF = 2.6 m，FO＜OD，求FO的长.
　

答案：
(1) $\because AO = 17$ m，$\therefore A(0,17)$.
$\because OC = 100$ m，缆索 $L_{1}$ 的最低点 P 到 $FF'$ 的距离 $PD = 2$ m，
$\therefore$ 抛物线的顶点 P 为 $(50,2)$，
故可设抛物线为 $y = a(x - 50)^{2} + 2$，
将 A 代入抛物线，得 $2500a + 2 = 17$，解得 $a = \frac{3}{500}$，
$\therefore$ 缆索 $L_{1}$ 所在抛物线的函数表达式为 $y = \frac{3}{500}(x - 50)^{2} + 2$.
(2) $\because$ 缆索 $L_{1}$ 所在抛物线与缆索 $L_{2}$ 所在抛物线关于 y 轴对称，
又缆索 $L_{1}$ 所在抛物线为 $y = \frac{3}{500}(x - 50)^{2} + 2$，
$\therefore$ 缆索 $L_{2}$ 所在抛物线为 $y = \frac{3}{500}(x + 50)^{2} + 2$.
令 $y = 2.6$，则 $2.6 = \frac{3}{500}(x + 50)^{2} + 2$，
解得 $x = -40$ 或 $x = -60$.
$\because FO ＜ OD = 50$ m，$\therefore x = -40$，
$\therefore FO$ 的长为 40 m.

9 传统文化 “火龙出水” (2024·武汉中考)16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖. 火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行.
某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程. 如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线y = ax² + x和直线y = -$\frac{1}{2}$x + b.
其中，当火箭运行的水平距离为9 km时，自动引发火箭的第二级.
(1)若火箭第二级的引发点的高度为3.6 km，
①直接写出a，b的值；
②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35 km，求这两个位置之间的距离.
(2)直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15 km.

答案：
(1) ① $\because y = ax^{2} + x$ 经过点 $(9,3.6)$，
$\therefore 81a + 9 = 3.6$，解得 $a = -\frac{1}{15}$.
$\because y = -\frac{1}{2}x + b$ 经过点 $(9,3.6)$，
$\therefore 3.6 = -\frac{1}{2}\times9 + b$，解得 $b = 8.1$.
② 由①，得 $y = -\frac{1}{15}x^{2} + x = -\frac{1}{15}(x - \frac{15}{2})^{2} + \frac{15}{4}(0\leqslant x\leqslant9)$，
$\therefore$ 火箭运行的最高点是 $\frac{15}{4}$ km，
$\therefore \frac{15}{4} - 1.35 = 2.4(km)$.
令 $2.4 = -\frac{1}{15}x^{2} + x$，整理，得 $x^{2} - 15x + 36 = 0$，
解得 $x_{1} = 12 ＞ 9$（不合题意，舍去），$x_{2} = 3$.
由①，得 $y = -\frac{1}{2}x + 8.1$，
令 $2.4 = -\frac{1}{2}x + 8.1$，解得 $x = 11.4$，
$\therefore 11.4 - 3 = 8.4(km)$.
故这两个位置之间的距离为 8.4 km.
(2) 当 $x = 9$ 时，$y = 81a + 9$.
$\therefore$ 火箭第二级的引发点的坐标为 $(9,81a + 9)$.
当火箭落地点与发射点的水平距离为 15 km 时，
$y = -\frac{1}{2}x + b$ 经过 $(9,81a + 9)$，$(15,0)$ 两点，
$\therefore \begin{cases}-\frac{1}{2}\times9 + b = 81a + 9 \\ -\frac{1}{2}\times15 + b = 0\end{cases}$，解得 $\begin{cases}a = -\frac{2}{27} \\ b = \frac{15}{2}\end{cases}$，
$\therefore$ 当 $-\frac{2}{27} ＜ a ＜ 0$ 时，火箭落地点与发射点的水平距离超过 15 km.