《2025年1课3练江苏人民出版社九年级数学下册北师大版》

9 若等腰三角形腰长为4，面积是4，则这个等腰三角形顶角的度数为( )。
A. 30°
B. 30°或150°
C. 60°
D. 60°或120°

答案： B

10 (2024·梅州一模)在△ABC中，∠C = 90°，AB = $\sqrt{6}$，BC = $\sqrt{3}$，则∠A的度数为( )。
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 75°

答案： B

11 已知在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且$(\cos A - \frac{1}{2})^{2}+\vert\tan B - 1\vert = 0$，则∠C = _______度。

答案： 75

12 (2024·山东滨州期末)某市跨江大桥即将竣工，某学生做了一个平面示意图(如图所示)，点A到桥的距离AC是50米，测得∠A = 83°，则大桥BC的长度是_______米。(结果精确到1米，参考数据：$\sin 83^{\circ}\approx0.99,\cos 83^{\circ}\approx0.12,\tan 83^{\circ}\approx8.14$)
　　　　

答案： 407

13 新情境 修建高铁轨道 鲁南高铁临沂段修建过程中需要经过一座小山.如图，施工方计划沿AC方向开挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧点D(点A，C，D共线)处同时施工.测得∠CAB = 30°，AB = 4 km，∠ABD = 105°，求BD的长.
　　　　　　　　　　

答案： 过点$B$作$BE\perp AD$于点$E$.
$\because\angle CAB = 30^{\circ},AB = 4\ km$,
$\therefore\angle ABE = 60^{\circ},BE = 2\ km$.
$\because\angle ABD = 105^{\circ},\therefore\angle EBD = 45^{\circ}$,
$\therefore BD=\frac{BE}{\cos\angle EBD}=\frac{2}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=2\sqrt{2}(km)$.
即$BD$的长是$2\sqrt{2}\ km$.

14 (2023·湖北中考)为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i = 3:4是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比.已知斜坡CD长度为20米，∠C = 18°，求斜坡AB的长.(结果精确到0.1米，参考数据：$\sin 18^{\circ}\approx0.31,\cos 18^{\circ}\approx0.95,\tan 18^{\circ}\approx0.32$)
　　　　　　　　　

答案：
如图,过点$D$作$DE\perp BC$,垂足为点$E$.

由题意,得$AF\perp BC,DE = AF$.
$\because$斜面$AB$的坡度$i = 3:4,\therefore\frac{AF}{BF}=\frac{3}{4}$,
$\therefore$设$AF = 3x$米,则$BF = 4x$米.
在$Rt\triangle ABF$中,$AB=\sqrt{AF^{2}+BF^{2}}=\sqrt{(3x)^{2}+(4x)^{2}} = 5x$米.
在$Rt\triangle DEC$中,$\angle C = 18^{\circ},CD = 20$米,
$\therefore DE = CD\cdot\sin18^{\circ}\approx20\times0.31 = 6.2$(米),
$\therefore AF = DE = 6.2$米,$\therefore 3x = 6.2$,解得$x=\frac{31}{15}$,
$\therefore AB = 5\times\frac{31}{15}\approx10.3$(米),$\therefore$斜坡$AB$的长约为$10.3$米.