《2025年1课3练江苏人民出版社九年级数学下册北师大版》

9 (2023·湖州中考)如图，点A，B，C在⊙O上，连接AB，AC，OC.若∠BAC=50°，则∠BOC的度数是(　　　)．

A. 80°
B. 90°
C. 100°
D. 110°

答案： C

10 (2024·无锡金桥双语实验学校模拟)如图，⊙O的弦AB，DC的延长线相交于点E，∠AOD=128°，∠E=40°，则∠BDC=________．

答案： 24°

11 中考新考法 满足条件的结论开放 如图，A，B，C是⊙O上的三个点，当BC平分∠ABO时，能得出结论________(任写一个即可)．

答案： CO//AB(答案不唯一)

12 如图，在⊙O中，∠ACB=∠BDC=60°，AC=2$\sqrt{3}$ cm.
(1)求∠BAC的度数；
(2)求⊙O的半径.

答案：

(1)
∵∠BAC=∠BDC，∠BDC=60°，
∴∠BAC=60°.
(2)如图，过点O作OE⊥AC于点E，连接OA，OC.
∵∠ACB=∠BAC=60°，
∴∠ABC=60°，
∴∠AOC=120°.又OE⊥AC，AC=2$\sqrt{3}$cm，
∴∠AEO=90°，∠AOE=60°，AE=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{3}$cm，
∴OA=$\frac{AE}{sin60^{\circ}}$=2cm.故⊙O的半径为2cm.

13 中考新考法 课题实践活动 在圆周角定理的证明过程中，某小组归纳了三种不同的情况，并完成了情况一的证明.请你选择情况二或者情况三，并补全该情况的证明过程.

答案：
情况二:当点O在∠BAC的内部时.如图
(1)，连接AO并延长交⊙O于点D.
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠CAO.
∵∠COD=∠OCA+∠CAO，
∴∠COD=2∠CAO.同理可得∠BOD=2∠BAO，
∴∠COB=∠COD+∠BOD=2∠CAO+2∠BAO=2∠BAC，即∠BAC=$\frac{1}{2}$∠COB.情况三:当点O在∠BAC的外部时.如图
(2)，连接AO并延长交⊙O于点E.
∵OA=OC，
∴∠C=∠CAO.
∵∠COE=∠C+∠CAO，
∴∠COE=2∠CAO.同理可得∠BOE=2∠BAO，
∴∠COB=∠COE - ∠BOE=2∠CAO - 2∠BAO=2∠CAB，即∠CAB =$\frac{1}{2}$∠COB.方法诠释　分“圆周角的一边过圆心”“圆心在圆周角的内部”“圆心在圆周角的外部”3种情况分别证明，其中“圆周角的一边过圆心”是证明的基础，另外两种情况都是通过转化为两个“圆周角的一边过圆心”利用角的“和”或“差”从而证得.