《2025年1课3练江苏人民出版社九年级数学下册北师大版》

11 传统文化《数书九章》(2023·泰州中考)小明对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一棵大树，向树的方向走9里到达城堡边，再往前走6里到达树下. 则该城堡的外围直径为 _______里.

答案： 9

12 如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D，过点D作直线DG//BC.
(1)若∠ACB = 70°，则∠ADB = _______，∠AEB = _______；
(2)求证：DE = CD；
(3)求证：DG是⊙O的切线.

答案：
(1)70°　125°
(2)连接BD,
∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAE=∠CAE,
∴$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$,
∴BD=CD.
∵∠BAE=∠CAE=∠CBD,∠ABE=∠CBE,
∴∠BED=∠BAE+∠ABE=∠CBD+∠CBE=∠DBE,
∴BD=DE,
∴DE=CD.
(3)连接OD,由
(2),得$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$,
∴OD⊥BC.
∵DG//BC,
∴OD⊥DG.又OD是⊙O的半径，
∴DG是⊙O的切线.

13 中考新考法 操作探究 在△ABC中，∠C = α，设BC = a，AC = b，AB = c. ⊙O是△ABC的内切圆，⊙P分别与CA的延长线、CB的延长线以及直线AB均只有一个公共点，⊙O的半径为m，⊙P的半径为n.
(1)当α = 90°，b = 6，a = 8时，m = _______，n = _______；
(2)如图(1)，α = 90°，则m = _______，n = _______(用含有a，b，c的代数式表示)，并求出△ABC的面积；(用含有m，n的代数式表示)
(3)如图(2)，α = 60°，求出△ABC的面积. (用含有m，n的代数式表示)

答案：
(1)2　12　[解析]
∵α=90°,b=6,a=8,
∴c=10.如图
(1),设点D,E,F分别是CA的延长线，CB的延长线，直线AB与⊙P的切点，连接PD,PE,PF,OA,OB,OC.
∵S_{△BCA}=S_{△ABO}+S_{△ACO}+S_{△BCO},
∴$\frac{1}{2}$×6×8=$\frac{1}{2}$×10m+$\frac{1}{2}$×6m+$\frac{1}{2}$×8m,
∴m=2.由已知,得四边形DPEC为正方形，
∴n=PD=$\frac{1}{2}$(CD+CE).由切线长定理可知,AF=AD,BF=BE，
∴n=$\frac{1}{2}$(CD+CE)=$\frac{1}{2}$(AD+AC+BE+BC)=$\frac{1}{2}$(AB+AC+BC)=$\frac{1}{2}$×(10+6+8)=12.　　
(2)$\frac{ab}{a+b+c}$　$\frac{a+b+c}{2}$　[解析]如图
(1),由切线的性质可知,PD⊥CD,PE⊥BC,PF⊥AB,
∴PD=PE=PF.设△ABC的面积为S_{△ABC}，周长为C_{△ABC}.同
(1),根据面积法可知m=$\frac{2S_{△ABC}}{C_{△ABC}}$=$\frac{2×\frac{1}{2}ab}{a + b + c}$=$\frac{ab}{a+b+c}$.
∵n=$\frac{1}{2}$(CD+CE)=$\frac{1}{2}$(AD+AC+BE+BC)=$\frac{1}{2}$(AB+AC+BC)=$\frac{1}{2}$C_{△ABC}=$\frac{a+b+c}{2}$,
∴S_{△ABC}=$\frac{mC_{△ABC}}{2}$=mn.
(3)如图
(2),连接CP,由切线长定理,得CD=CE=$\frac{1}{2}$(CD+CE)=$\frac{1}{2}$(AD+AC+BE+BC)=$\frac{1}{2}$(AB+AC+BC)=$\frac{1}{2}$C_{△ABC}.
∵PD⊥CD,PE⊥BC,且PD=PE,
∴CP平分∠ACB,
∴∠PCE=30°,
∴PC=2PE,
∴CE=$\sqrt{PC²−PE²}$=$\sqrt{3}$PE.
∴n=PE=$\frac{CE}{\sqrt{3}}$=$\frac{C_{△ABC}}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}C_{△ABC}}{6}$.
∵m=$\frac{2S_{△ABC}}{C_{△ABC}}$,
∴S_{△ABC}=$\frac{mC_{△ABC}}{2}$=$\sqrt{3}$mn.