《2025年1课3练江苏人民出版社九年级数学下册北师大版》

1 (2024·曲靖麒麟模拟)已知抛物线$y = ax^{2}+bx + 1$($a\neq0$)经过点$(1,-2)$，$(-2,19)$。
(1)求抛物线的表达式；
(2)若$A(m,p)$和$B(n,p)$是抛物线上不同的两点，且$m - n=\frac{1}{2}$，求$m$，$n$的值。

答案：
(1)由题意，得$\begin{cases}a + b + 1 = -2\\4a - 2b + 1 = 19\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 2\\b = -5\end{cases}$，
∴抛物线表达式为$y = 2x^{2} - 5x + 1$.
(2)根据抛物线的对称性，得$\frac{m + n}{2}=-\frac{-5}{2\times2}$，即$m + n=\frac{5}{2}$，
∴$n=\frac{5}{2}-m$.
又$m - n=\frac{1}{2}$，
∴$m - (\frac{5}{2}-m)=\frac{1}{2}$，
解得$m=\frac{3}{2}$，
∴$n=\frac{5}{2}-\frac{3}{2}=1$.

2 (2024·益阳模拟)已知二次函数$y = ax^{2}+bx + c$($a\neq0$)。函数值$y$和自变量$x$的部分对应取值如下表所示：
　　
(1)若$m = 3$，求二次函数的表达式；
(2)当$0\leq x\leq3$时，$y$有最大值7，求$n$的值；
(3)若$|m|+|p| = |n|$，求$a$的值。

答案：
(1)将$(-1,3)$，$(0,2)$，$(2,2)$代入$y = ax^{2} + bx + c$，
得$\begin{cases}a - b + c = 3\\c = 2\\4a + 2b + c = 2\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=\frac{1}{3}\\b = -\frac{2}{3}\\c = 2\end{cases}$，
∴二次函数的表达式为$y=\frac{1}{3}x^{2}-\frac{2}{3}x + 2$.
(2)由图象过点$(2,2)$，可设$y = ax(x - 2)+2$，
∵图象过点$(0,2)$和$(2,2)$，
∴对称轴为直线$x=\frac{0 + 2}{2}=1$.
当$a＞0$时，此时$x = 3$，$y$取最大值为$7$，
∴$7 = 3a + 2$，解得$a=\frac{5}{3}$，
∴二次函数的表达式为$y=\frac{5}{3}x(x - 2)+2$，
∴当$x = 1$时，$n=\frac{5}{3}\times1\times(-1)+2=\frac{1}{3}$；
当$a＜0$时，此时$x = 1$，$y$取最大值为$7$，
∴$n = 7$.
综上所述，$n=\frac{1}{3}$或$7$.
(3)同
(2)可设$y = ax(x - 2)+2$，
∴$m = p = 3a + 2$，$n = -a + 2$.
当$a＞2$时，$|m|+|p|=|n|$，
∴$2(3a + 2)=a - 2$，解得$a = -\frac{6}{5}$(舍去)；
当$-\frac{2}{3}\leq a\leq2$时，$|m|+|p|=|n|$，
∴$2(3a + 2)=-a + 2$，解得$a = -\frac{2}{7}$；
当$a＜-\frac{2}{3}$时，$|m|+|p|=|n|$，
∴$-2(3a + 2)=-a + 2$，解得$a = -\frac{6}{5}$.
综上所述，$a = -\frac{6}{5}$或$-\frac{2}{7}$.

3 (2024·杭州西湖区三模)已知二次函数$y_{1}=ax(x + b)$($a\neq0$)和一次函数$y_{2}=ax + m$。
(1)若二次函数$y_{1}$的图象过点$(1,0)$和$(2,2)$，求二次函数的表达式。
(2)若一次函数$y_{2}$与二次函数$y_{1}$的图象交于$x$轴上同一点$A$，且$A$不是原点。
①求证：$m = ab$；
②若二次函数$y_{1}$与一次函数$y_{2}$的另一个交点$B$为$y_{1}$的顶点，求$b$的值。

答案：
(1)
∵二次函数$y_{1}$的图象过点$(1,0)$，$(2,2)$，
∴$\begin{cases}a(1 + b)=0\\2a(2 + b)=2\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 1\\b = -1\end{cases}$，
∴二次函数的表达式为$y_{1}=x^{2}-x$.
(2)①令$y_{1}=0$，则$ax(x + b)=0$，
解得$x = 0$或$x = -b$，
∴抛物线$y_{1}=ax(x + b)$与$x$轴交于$(0,0)$，$(-b,0)$.
令$y_{2}=0$，则$ax + m = 0$，解得$x = -\frac{m}{a}$，
∴直线$y_{2}=ax + m$与$x$轴交于$(-\frac{m}{a},0)$.
∵若一次函数$y_{2}$与二次函数$y_{1}$的图象交于$x$轴上同一点，且这个点不是原点，
∴$-\frac{m}{a}=-b$，
∴$m = ab$.
②
∵$y_{1}=ax(x + b)=ax^{2}+abx=a(x+\frac{b}{2})^{2}-\frac{ab^{2}}{4}$，
∴二次函数的顶点为$(-\frac{b}{2},-\frac{ab^{2}}{4})$.
∵两个函数图象的另一个交点为二次函数的顶点，
∴$a(-\frac{b}{2})+m=-\frac{ab^{2}}{4}$.
由①知$m = ab$，
∴$-\frac{ab}{2}+ab=-\frac{ab^{2}}{4}(a\neq0)$，
解得$b = 0$(不合题意，舍去)或$b = -2$.
∴若两个函数图象的另一个交点为二次函数的顶点，$b$的值为$-2$.

4 如图，抛物线$y_{1}=ax^{2}+bx + c$与直线$y_{2}=mx + n$相交于点$A(3,0)$和$B(0,3)$，抛物线还经过$C(1,0)$。
(1)求抛物线和直线的表达式；
(2)若$y_{1}＞y_{2}$，则$x$的取值范围是________。
　　　　　　　　　　　　　

答案：
(1)由题意，设抛物线的表达式为$y_{1}=a(x - 1)(x - 3)=ax^{2}-4ax + 3a$.
∵抛物线的图象过$B(0,3)$，
∴$3 = 3a$，
∴$a = 1$，
∴抛物线的表达式为$y_{1}=x^{2}-4x + 3$.
∵$y_{2}=mx + n$过点$A(3,0)$和$B(0,3)$，
∴$\begin{cases}0 = 3m + n\\3 = n\end{cases}$，解得$\begin{cases}m = -1\\n = 3\end{cases}$，
∴$y_{2}=-x + 3$.
(2)$x＜0$或$x＞3$ [解析]由图象得当$x＜0$或$x＞3$时，$y_{1}＞y_{2}$.