《2025年1课3练江苏人民出版社九年级数学下册北师大版》

12. (2024·上海中考)对于一个二次函数$y = a(x - m)^2 + k(a\neq0)$中存在一点$P(x',y')$，使得$x' - m = y' - k\neq0$，则称$2|x' - m|$为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线$y = -\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x + 3$的“开口大小”为________．

答案： 4 [解析]
∵抛物线$y = -\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x + 3 = -\frac{1}{2}\cdot(x - \frac{1}{3})^2 + \frac{55}{18}$，且该抛物线上存在一点$P(x',y')$，
∴$x' - \frac{1}{3} = -\frac{1}{2}(x' - \frac{1}{3})^2 + \frac{55}{18} - \frac{55}{18}\neq0$，
解得$x' - \frac{1}{3} = -2$，
∴抛物线$y = -\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x + 3$，
“开口大小”为$2|x' - \frac{1}{3}| = 2\times|-2| = 4$.

13. 原创素养题 创新意识 写出一个满足下列要求的形如：$y = x(x - h)^2 + k$的二次函数关系式：(1)函数有最小值；(2)当$x\gt1$时，$y$随$x$的增大而增大；(3)经过第一、四象限.$y =$________．

答案： $(x - 1)^2 - 1$(答案不唯一)

14. 中考新考法 实践操作应用 (2024·深圳中考改编)为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置，并分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为$x$，$y$轴建立如图(1)所示的平面直角坐标系，该数学小组选择不同位置测量数据如下表所示，设$BD$的读数为$x$，$CD$的读数为$y$，抛物线的顶点为$C$．
(1)(Ⅰ)列表：

(Ⅱ)描点：请将表格中的$(x,y)$描在图(2)中；
(Ⅲ)连线：请用平滑的曲线在图(2)中将上述点连接，并求出$y$与$x$的关系式.
(2)如图(3)所示，在平面直角坐标系中，抛物线$y = a(x - h)^2 + k$的顶点为$C$，该数学兴趣小组用水平和竖直直尺测量其水平跨度为$AB$，竖直跨度为$CD$，且$AB = m$，$CD = n$，为了求出该抛物线的开口大小，该数学兴趣小组有如下方案，请完善过程：
方案：将二次函数$y = a(x - h)^2 + k$平移，使得顶点$C$与原点$O$重合，此时抛物线表达式为$y = ax^2$．
①此时点$B'$的坐标为________；
②将点$B'$坐标代入$y = ax^2$中，解得$a =$________．(用含$m$，$n$的式子表示$a$)

答案：

(1)描点、连线绘制函数图象如图:

由抛物线过点$O$，设抛物线的表达式为$y = ax^2 + bx$，
将$(2,1)$，$(3,2.25)$代入上式，得
$\begin{cases}4a + 2b = 1\\9a + 3b = 2.25\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = \frac{1}{4}\\b = 0\end{cases}$，
∴抛物线的表达式为$y = \frac{1}{4}x^2(x\geq0)$.
(2)①$(\frac{1}{2}m,n)$
②$\frac{4n}{m^2}$ [解析]将点$B'$的坐标代入抛物线$y = ax^2$，
得$n = a\cdot\frac{1}{4}m^2$，
∴$a = \frac{4n}{m^2}$.