《2025年1课3练江苏人民出版社九年级数学下册北师大版》

8 在平面直角坐标系$xOy$中，点$(1,m)$，$(2,n)$在抛物线$y = ax^{2}+bx + c$($a＞0$)上，抛物线的对称轴是直线$x = t$，若$m ＜ c ＜ n$，则$t$的取值范围是(　　)．
A. $t＜1$
B. $0 ＜ t ＜ 1$
C. $\frac{1}{2}＜t＜1$
D. $\frac{1}{2}＜t＜\frac{3}{2}$

答案： C

9 (2023·舟山三模)已知函数$y = x^{2}-4ax + 5$($a$为常数)，当$x\geqslant4$时，$y$随$x$的增大而增大，$P(x_{1},y_{1})$，$Q(x_{2},y_{2})$是该函数图象上的两点，对任意的$2a - 1\leqslant x_{1}\leqslant5$和$2a - 1\leqslant x_{2}\leqslant5$，$y_{1}$，$y_{2}$总满足$y_{1}-y_{2}\leqslant5 + 4a^{2}$，则实数$a$的取值范围是(　　)．
A. $-1\leqslant a\leqslant2$
B. $1\leqslant a\leqslant2$
C. $2\leqslant a\leqslant3$
D. $2\leqslant a\leqslant4$

答案： B [解析]由题意，得抛物线开口向上.
∵当$x\geq4$时，$y$随$x$的增大而增大，
∴对称轴所在直线$x=-\frac{-4a}{2}=2a\leq4$，即$a\leq2$.
∵$5\geq2a - 1$，
∴$5 - 2a\geq - 1$. 由$2a-(2a - 1)=1$，得
当$x = 2a$时，$y_{min}=5 - 4a^{2}$，
当$x = 5$时，$y_{max}=30 - 20a$.
∵$y_{1}-y_{2}\leq5 + 4a^{2}$，
∴$30 - 20a-(5 - 4a^{2})\leq5 + 4a^{2}$，
解得$a\geq1$，
∴$1\leq a\leq2$. 故选B.

10 (2024·舟山三模)已知一次函数$y = x - 5$的图象与$x$轴、$y$轴分别交于点$A$，$B$．将点$A$向左平移4个单位长度，得到点$A'$，且点$A'$恰好在二次函数$y = ax^{2}+bx - 3$($a$，$b$是常数，$a\neq0$)图象的对称轴上．
(1)用含$a$的代数式表示$b$；
(2)求证：二次函数与一次函数图象交于一个定点，并求出该点的坐标；
(3)若二次函数图象与线段$AB$恰有一个公共点，结合函数图象，求$a$的取值范围．

答案：
(1)令$y = 0$，则$x = 5$，
∴点$A$的坐标为$(5,0)$.
∵将点$A$向左平移4个单位长度，得到点$A'$，
∴点$A'$的坐标为$(1,0)$.
∵点$A'$恰好在二次函数$y = ax^{2}+bx - 3(a,b$是常数，$a\neq0)$图象的对称轴上.
∴$-\frac{b}{2a}=1$，
∴$b=-2a$.
(2)
∵二次函数$y = ax^{2}+bx - 3$的图象过定点$(0,-3)$，且对称轴是直线$x = 1$，
∴二次函数图象也过定点$(2,-3)$.
∵当$x = 2$时，一次函数的函数值恰好也是$-3$，
∴二次函数与一次函数图象必交于一个定点，该点的坐标为$(2,-3)$.
(3)①当$a＜0$时，
∵二次函数的图象与$y$轴交于点$(0,-3)$，一次函数的图象与$y$轴交于点$(0,-5)$，
且两函数图象交于一个定点为$(2,-3)$，
∴由图象可得，$a＜0$时，均符合题意.
②当$a＞0$时，
由图象可得，当$x = 5$时，$y＜0$，或者二次函数图象与线段$AB$只有一个交点$(2,-3)$时，符合题意.
当$x = 5$时，$y = 25a - 10a - 3＜0$，解得$a＜\frac{1}{5}$；
当二次函数图象与线段$AB$只有一个交点$(2,-3)$时，
联立$\begin{cases}y = ax^{2}+bx - 3\\y = x - 5\end{cases}$，得$ax^{2}+(-2a - 1)x + 2 = 0$，由$\Delta = 0$，解得$a=\frac{1}{2}$.
综上所述，$a$的取值范围是$a＜0$或$0＜a＜\frac{1}{5}$或$a=\frac{1}{2}$.

11 中考新考法 操作探究 《二次函数的图象与性质》拓展学习片段展示：
[问题]如图(1)，在平面直角坐标系中，抛物线$y = a(x - 2)^{2}-\frac{4}{3}$经过原点$O$，与$x$轴的另一个交点为$A$，则$a =$________；
[操作]将图(1)中抛物线在$x$轴下方的部分沿$x$轴折叠到$x$轴上方，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为$G$，如图(2)，直接写出图象$G$对应的函数表达式；
[探究]在图(2)中，过点$B(0,1)$作直线$l$平行于$x$轴，与图象$G$的交点从左至右依次为点$C$，$D$，$E$，$F$，如图(3)，求图象$G$在直线$l$上方的部分对应的函数$y$随$x$增大而增大时$x$的取值范围；
[应用]$P$是图(3)中图象$G$上一点，其横坐标为$m$，连接$PD$，$PE$，直接写出$\triangle PDE$的面积不小于1时$m$的取值范围．
　　

答案： [问题]$\frac{1}{3}$
[操作]图象$G$对应的函数表达式为
$y=\begin{cases}\frac{1}{3}(x - 2)^{2}-\frac{4}{3}(x\leq0或x\geq4)\\-\frac{1}{3}(x - 2)^{2}+\frac{4}{3}(0＜x＜4)\end{cases}$.
[探究]在$y=\frac{1}{3}(x - 2)^{2}-\frac{4}{3}(x\leq0或x\geq4)$中，
当$y = 1$时，$\frac{1}{3}(x - 2)^{2}-\frac{4}{3}=1$，
解得$x_{1}=2+\sqrt{7}$，$x_{2}=2-\sqrt{7}$，
∴$C(2-\sqrt{7},1)$，$F(2+\sqrt{7},1)$.
在$y=-\frac{1}{3}(x - 2)^{2}+\frac{4}{3}(0＜x＜4)$中，
当$y = 1$时，$-\frac{1}{3}(x - 2)^{2}+\frac{4}{3}=1$，
解得$x_{1}=3$，$x_{2}=1$，
∴$D(1,1)$，$E(3,1)$.
由图象得，图象$G$在直线$l$上方的部分，当$1＜x\leq2$或$x＞2+\sqrt{7}$时，函数$y$随$x$增大而增大.
[应用]
∵$D(1,1)$，$E(3,1)$，
∴$DE = 3 - 1 = 2$.
设$\triangle PDE$的高为$h$，则$S_{\triangle PDE}=\frac{1}{2}DE\cdot h\geq1$，
∴$h\geq1$.
①当$P$在$C$的左侧或$F$的右侧时，
设$P(m,\frac{1}{3}(m - 2)^{2}-\frac{4}{3})$，
令$h=\frac{1}{3}(m - 2)^{2}-\frac{4}{3}-1 = 1$，
∴$(m - 2)^{2}=10$，
∴$m_{1}=2+\sqrt{10}$，$m_{2}=2-\sqrt{10}$.
∴符合条件的范围为$m\geq2+\sqrt{10}$或$m\leq2-\sqrt{10}$.
②当点$P$在点$C$右侧，点$F$左侧时，如图，作对称轴交图象$G$于点$H$，交直线$CD$于点$M$，交$x$轴于点$N$.
∵$H(2,\frac{4}{3})$，
∴$HM=\frac{4}{3}-1=\frac{1}{3}＜1$.
∴点$P$不可能在$DE$的上方.
∵$MN = 1$，且$O(0,0)$，$A(4,0)$，
∴点$P$与点$O$或点$A$重合时，符合条件.
∴$m = 0$或$m = 4$.
综上所述，$\triangle PDE$的面积不小于1时，$m$的取值范围是$m = 0$或$m = 4$或$m\leq2-\sqrt{10}$或$m\geq2+\sqrt{10}$.