《2025年1课3练江苏人民出版社九年级数学下册北师大版》

4 (2024·兰州中考)如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，BC=BD，延长BA至E，使得∠ADE=∠CBA.
(1)求证：ED是⊙O的切线；
(2)若BO=4，tan∠CBA=$\frac{1}{2}$，求ED的长.
　　　　　　　　　　　　

答案：

(1)连接 $OD$，如图.
∵ $AB$ 为 $\odot O$ 的直径，
∴ $\angle BCA=\angle BDA = 90^{\circ}$.
∵ $OB = OD$，
∴ $\angle DBA=\angle BDO$，
在 $Rt\triangle BCA$ 和 $Rt\triangle BDA$ 中，
$\begin{cases}BA = BA\\BC = BD\end{cases}$，

∴ $Rt\triangle BCA\cong Rt\triangle BDA(HL)$，
∴ $\angle CBA=\angle DBA$.
∵ $\angle ADE=\angle CBA$，$\angle DBA=\angle BDO$，
∴ $\angle ADE=\angle DBA=\angle BDO$.
∵ $\angle BDO+\angle ADO=\angle BDA = 90^{\circ}$，
∴ $\angle ADE+\angle ADO = 90^{\circ}$，
∴ $\angle ODE = 90^{\circ}$，即 $ED\perp OD$.
∵ $OD$ 为 $\odot O$ 的半径，
∴ $ED$ 是 $\odot O$ 的切线.
(2)
∵ $BO = 4$，
∴ $AB = 2OB = 8$，
∴ $EB = AE + AB = AE + 8$.
∵ $\tan\angle CBA=\frac{1}{2}$，$\angle CBA=\angle DBA$，
∴ $\tan\angle DBA=\frac{1}{2}$.
在 $Rt\triangle ABD$ 中，$\tan\angle DBA=\frac{AD}{BD}=\frac{1}{2}$，
∴ 设 $AD = a$，$BD = 2a$.
∵ $\angle ADE=\angle DBA$，$\angle E=\angle E$，
∴ $\triangle EAD\sim\triangle EDB$，
∴ $ED:EB = AE:DE = AD:DB$，
即 $ED:(AE + 8)=AE:ED = a:2a$，
∴ $2ED = AE + 8$，$AE=\frac{1}{2}ED$，
∴ $2ED=\frac{1}{2}ED + 8$，
∴ $ED=\frac{16}{3}$.

5 中考新考法 尺规作图 (2024·扬州江都区一模)[问题提出]如图(1)，已知线段CD，点P是⊙O内一定点，请过点P作⊙O的弦AB，使AB=CD(要求：用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹).
[问题联想]
(1)在数学活动小组讨论过程中，小明联想到教科书上的例题：
如图(2)，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB切小圆于点P. PA与PB相等吗? 为什么?
　
[问题解决]
(2)你能解决[问题提出]中的问题吗?

答案：

(1)$PA = PB$.理由如下:
连接 $OP$.
∵ $AB$ 与小圆相切，
∴ $OP\perp AB$，
∴ $PA = PB$.
(2)如图，$AB$ 为所求.

6 中考新考法 新定义问题 点P是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点P向x轴、y轴作垂线段，若垂线段的长度的和为4，则点P叫做“垂距点”. 例如：如图所示的P(1,3)是“垂距点”.
(1)在点A(2,2)，B($\frac{3}{2}$,-$\frac{5}{2}$)，C(-1,5)中，是“垂距点”的点为________；
(2)求函数y=2x+3的图象上的“垂距点”的坐标；
(3)⊙T的圆心T的坐标为(1,0)，半径为r. 若⊙T上存在“垂距点”，则r的取值范围是________.
　　　　　　　　　　　　　　

答案：

(1)$A$，$B$ [解析]
∵ $|2|+|2| = 4$，$|\frac{3}{2}|+|-\frac{5}{2}| = 4$，$|-1|+|5| = 6\neq4$，
∴ 是“垂距点”的点为 $A$，$B$.
(2)设函数 $y = 2x + 3$ 的图象上的“垂距点”的坐标为 $(a,2a + 3)$，依题意，得 $|a|+|2a + 3| = 4$.
①当 $a＞0$ 时，$a+(2a + 3)=4$，解得 $a=\frac{1}{3}$，
∴ 此时“垂距点”的坐标为 $(\frac{1}{3},\frac{11}{3})$；
②当 $-\frac{3}{2}＜a＜0$ 时，$-a+(2a + 3)=4$，
解得 $a = 1$（不符合题意，舍去）；
③当 $a＜-\frac{3}{2}$ 时，$-a-(2a + 3)=4$，
解得 $a=-\frac{7}{3}$，
∴ 此时“垂距点”的坐标为 $(-\frac{7}{3},-\frac{5}{3})$.
综上所述，函数 $y = 2x + 3$ 的图象上的“垂距点”的坐标是 $(\frac{1}{3},\frac{11}{3})$ 或 $(-\frac{7}{3},-\frac{5}{3})$.
(3) $\frac{3\sqrt{2}}{2}\leqslant r＜5$ [解析]设“垂距点”的坐标为 $(x,y)$，则 $|x|+|y| = 4(xy\neq0)$.当 $x＞0$，$y＞0$ 时，$x + y = 4$，即 $y=-x + 4(0＜x＜4)$；当 $x＜0$，$y＞0$ 时，$-x + y = 4$，即 $y=x + 4(-4＜x＜0)$；当 $x＜0$，$y＜0$ 时，$-x - y = 4$，即 $y=-x - 4(-4＜x＜0)$；当 $x＞0$，$y＜0$ 时，$x - y = 4$，即 $y=x - 4(0＜x＜4)$.如图，画出 $|x|+|y| = 4(xy\neq0)$ 的图象，当 $\odot T$ 与 $DE$ 相切时，过点 $T$ 作 $TN\perp$ 直线 $DE$ 于点 $N$，易证 $\triangle DNT$ 为等腰直角三角形，
∴ $TN=\frac{\sqrt{2}}{2}TD=\frac{\sqrt{2}}{2}\times|4 - 1|=\frac{3\sqrt{2}}{2}$；当 $\odot T$ 过点 $F(-4,0)$ 时，$\odot T$ 上不存在“垂距点”，此时 $r = FT=|1-(-4)| = 5$.
∴ 若 $\odot T$ 上存在“垂距点”，则 $r$ 的取值范围是 $\frac{3\sqrt{2}}{2}\leqslant r＜5$.

思路引导
(1)根据“垂距点”的定义，判定给出点是否为“垂距点”；
(2)设“垂距点”的坐标为 $(a,2a + 3)$，利用一次函数图象上点的坐标特征及“垂距点”的定义，找出关于 $a$ 的含绝对值符号的一元一次方程；
(3)利用特殊值法，找出 $r$ 的取值范围.