《2025年1课3练江苏人民出版社九年级数学下册北师大版》

1. 教材P21习题T1·变式 (2024·温州鹿城区一模)图(1)是一款折叠日历，图(2)是其侧面示意图，若AB = AC = a，BD = CD = b，∠BAC = 20°，∠BDC = 100°，则点A，D之间的距离为(　　　)．
A. a sin 10° - b cos 50°
B. a cos 10° - b sin 50°
C. a sin 10° - b sin 50°
D. a cos 10° - b cos 50°
　　 　　

答案：
D [解析]如图,连接BC,连接AD并延长交BC于点E.
∵AB=AC,DB=DC,
∴AD是BC的垂直平分线,
∴∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC = 10°,
∠BDE=∠CDE=$\frac{1}{2}$∠BDC=50°.

在Rt△BDE中,BD=b,
∴DE=BD·cos50°=bcos50°.
在Rt△ABE中,AB=a,
∴AE=AB·cos10°=acos10°,
∴AD=AE - DE=acos10°-bcos50°,
∴点A,D之间的距离为acos10°-bcos50°.故选D.

2. 教材P20随堂练习T1·变式 (2024·广东三模)人民公园是当地人民喜欢的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们的喜爱.如图所示，秋千静止时，秋千链子OB与支柱OA重合，秋千链子OB = 6 m，将座板推至点C处，此时秋千链子与支柱夹角为45°，松开后座板摆动至点D处，此时秋千链子与支柱夹角为30°，则座板从点C处摆动至点D处的水平距离为________ m.（结果保留根号）
　　

答案： (3 + 3$\sqrt{2}$) [解析]过点C作CE⊥OB于点E,过点D作DF⊥OB于点F.
根据题意,得OC=OD=OB=6 m.
在Rt△ODF中,∠DOF=30°,
∴DF=OD·sin30°=6×$\frac{1}{2}$=3(m).
在Rt△OCE中,∠COE=45°,
∴CE=OC·sin45°=6×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=3$\sqrt{2}$(m),
∴DF + CE=(3 + 3$\sqrt{2}$)m.
方法诠释 本题考查了三角函数的实际应用.首先明确题意,将实际问题转化为几何图形问题,再构造直角三角形求解.

3. 传统文化　“土圭之法” (2024·成都中考)中国古代运用“土圭之法”判别四季.夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数.某地学生运用此法进行实践探索，如图，在示意图中，产生日影的杆子AB垂直于地面，AB长8尺.在夏至时，杆子AB在太阳光线AC照射下产生的日影为BC；在冬至时，杆子AB在太阳光线AD照射下产生的日影为BD.已知∠ACB = 73.4°，∠ADB = 26.6°，求春分和秋分时日影长度.（结果精确到0.1尺.参考数据：sin 26.6°≈0.45，cos 26.6°≈0.89，tan 26.6°≈0.50，sin 73.4°≈0.96，cos 73.4°≈0.29，tan 73.4°≈3.35）
　　

答案： 在Rt△ABC中,AB=8尺,∠ACB=73.4°,
∴tan73.4°=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{8}{BC}$≈3.35.
∴BC≈$\frac{8}{3.35}$≈2.4(尺).
在Rt△ABD中,AB=8尺,∠ADB=26.6°,
∴tan26.6°=$\frac{8}{BD}$≈0.50.
∴BD≈$\frac{8}{0.50}$=16.0(尺).
∵春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数,
∴(2.4 + 16)÷2=9.2(尺).
故春分和秋分时日影长度约为9.2尺.

4. 教材P25复习题T10·改编 如图，一把人字梯立在地面上，AB = AC = 2.4 m，改变∠α的大小时，梯子底端随之移动.
(1)当△ABC是等边三角形时，求梯子顶端离地面的高度AD.
(2)当∠α = 70°时，梯子顶点A比(1)中上升了多少米?
（结果精确到0.1 m，参考数据：sin 70°≈0.94，cos 70°≈0.34，tan 70°≈2.75，$\sqrt{3}$≈1.73）
　　

答案：
(1)当△ABC是等边三角形时,∠ACB=60°.
在Rt△ADC中,AD⊥BC,AC=2.4 m,
∴AD=AC·sin60°=2.4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$≈2.1(m).
故梯子顶端离地面的高度约为2.1 m.
(2)当∠α=70°时,在Rt△ADC中,
AD=AC·sin70°≈2.4×0.94≈2.256(m).
∵2.256 - 2.1≈0.2(m),
∴梯子顶点A比
(1)中上升了约0.2 m.