《2025年1课3练江苏人民出版社九年级数学下册北师大版》

1 教材P41习题T1·改编(2023·山东济宁任城区期中)将抛物线$y = x^{2}-2x + 3$向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线表达式是(　　)．
A. $y = x^{2}+2$
B. $y=(x + 1)^{2}+3$
C. $y=(x + 1)^{2}+1$
D. $y=(x - 3)^{2}+1$

答案： C

2 教材P41习题T2·变式(2025·江西新余期中)已知二次函数$y = 2x^{2}-6x + 3$．
(1)试写出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(2)试判断抛物线$y = 2x^{2}-6x + 3$与抛物线$y = 2x^{2}$的关系．

答案：
(1)
∵$y = 2x^{2}-6x + 3 = 2(x^{2}-3x+\frac{9}{4})+3-\frac{9}{2}=2(x-\frac{3}{2})^{2}-\frac{3}{2}$，
∴函数图象的开口向上，对称轴是直线$x=\frac{3}{2}$，顶点坐标为$(\frac{3}{2},-\frac{3}{2})$.
(2)
∵$y = 2x^{2}-6x + 3 = 2(x-\frac{3}{2})^{2}-\frac{3}{2}$，
又依据“左加右减，上加下减”的规律，
∴$y = 2x^{2}-6x + 3$是由$y = 2x^{2}$向右平移$\frac{3}{2}$个单位长度，再向下平移$\frac{3}{2}$个单位长度得到的.

3 教材P58复习题T2·变式(2023·西安莲湖区模拟)在平面直角坐标系中，二次函数$y = ax^{2}+4ax + 4a-4$的图象只经过三个象限，则$a$的取值范围为(　　)．
A. $a＜1$
B. $0 ＜ a ＜ 1$
C. $a\geqslant1$
D. $a＞0$

答案： C

4 已知抛物线$y = x^{2}-2bx + b^{2}-2b + 1$($b$为常数)的顶点不在抛物线$y = x^{2}+c$($c$为常数)上，则$c$应满足(　　)．
A. $c\leqslant2$
B. $c＜2$
C. $c\geqslant2$
D. $c＞2$

答案： D

5 (2023·鄂州中考)如图，已知抛物线$y = ax^{2}+bx + c$($a\neq0$)的对称轴是直线$x = 1$，且过点$(-1,0)$，顶点在第一象限，其部分图象如图所示．给出以下结论：①$ab＜0$；②$4a + 2b + c＞0$；③$3a + c＞0$；④若$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$(其中$x_{1}＜x_{2}$)是抛物线上的两点，且$x_{1}+x_{2}＞2$，则$y_{1}＞y_{2}$．其中正确的选项是(　　)．
A. ①②③ B. ①③④
C. ②③④ D. ①②④
　　　　　　

答案： D [解析]由题意，得抛物线开口向下，则$a＜0$，
抛物线的对称轴为直线$x = 1$，则$-\frac{b}{2a}=1$，
∴$b=-2a$，
∴$b＞0$，
∴$ab＜0$，故①正确；
∵抛物线过点$(-1,0)$，
∴由对称性可得抛物线与$x$轴的另一交点为$(3,0)$，
由函数图象可得，当$x = 2$时，$y＞0$，
∴$4a + 2b + c＞0$，故②正确；
∵当$x=-1$时，$y = 0$，
∴$a - b + c = 0$.
将$b=-2a$代入，得$3a + c = 0$，故③错误；
∵抛物线的对称轴是直线$x = 1$，
∴若$\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=1$，即$x_{1}+x_{2}=2$时，$y_{1}=y_{2}$.
当$x_{1}+x_{2}＞2$时，点$A(x_{1},y_{1})$到对称轴的距离小于点$B(x_{2},y_{2})$到对称轴的距离，且$a＜0$，
∴$y_{1}＞y_{2}$，故④正确.
综上所述，正确的选项是①②④. 故选D.

6 (山东枣庄滕州一中自主招生)抛物线$y = ax^{2}+bx + c$($a$，$b$，$c$为常数)的部分图象如图所示，设$m = a - b + c$，则$m$的取值范围是________．
　　　　　　

答案： $-4＜m＜0$ [解析]抛物线开口向上，
∴$a＞0$.
∵抛物线对称轴在$y$轴左侧，
∴$-\frac{b}{2a}＜0$，
∴$b＞0$.
∵抛物线经过$(0,-2)$，
∴$c=-2$.
∵抛物线经过$(1,0)$，
∴$a + b + c = 0$，
∴$a + b = 2$，$b = 2 - a$，
∴$m=a - b + c=a-(2 - a)+(-2)=2a - 4$，
∴$y = ax^{2}+(2 - a)x - 2$，
当$x=-1$时，$y=a + a - 2 - 2=2a - 4$.
∵$b = 2 - a＞0$，
∴$0＜a＜2$，
∴$-4＜2a - 4＜0$.

7 在平面直角坐标系中，设二次函数$y = -\frac{1}{2}(x - 2m)^{2}+3 - m$($m$是实数)．
(1)当$m = 2$时，若点$A(8,n)$在该函数图象上，求$n$的值．
(2)小明说二次函数图象的顶点在直线$y = -\frac{1}{2}x + 3$上，你认为他的说法对吗？为什么？
(3)已知点$P(a + 1,c)$，$Q(4m - 5 + a,c)$都在该二次函数图象上，求证：$c\leqslant\frac{13}{8}$．

答案：
(1)当$m = 2$时，$y=-\frac{1}{2}(x - 4)^{2}+1$.
∵$A(8,n)$在该二次函数图象上，
∴$n=-\frac{1}{2}\times(8 - 4)^{2}+1=-7$.
(2)小明的说法正确. 理由如下：
由题意，得二次函数图象的顶点是$(2m,3 - m)$，
当$x = 2m$时，$y=-\frac{1}{2}\times2m + 3=-m + 3$，
∴顶点$(2m,3 - m)$在直线$y=-\frac{1}{2}x + 3$上.
故小明的说法正确.
(3)
∵$P(a + 1,c)$，$Q(4m - 5 + a,c)$都在该二次函数的图象上，
∴对称轴是直线$x=\frac{a + 1+4m - 5 + a}{2}=a + 2m - 2$，
∴$a + 2m - 2=2m$，
∴$a = 2$，
∴$P(3,c)$，
∴$c=-\frac{1}{2}(3 - 2m)^{2}+3 - m=-2m^{2}+5m-\frac{3}{2}=-2(m-\frac{5}{4})^{2}+\frac{13}{8}\leq\frac{13}{8}$.