《2025年1课3练江苏人民出版社九年级数学下册北师大版》

5 老王在一片土地上种植了优质水果蓝莓，经核算，种植成本为18元/千克.今年正式上市销售，通过30天的试销发现：第1天卖出20千克；以后每天比前一天多卖4千克，销售价格y(元/千克)与时间x(天)之间满足下表：(其中x为整数)

(1)试销中销售量P(千克)与时间x(天)之间的函数关系式为____________；
(2)求销售蓝莓第几天时，当天的利润w最大，最大利润是多少元？

答案：
(1)$P = 4x + 16$
(2)①当$1\leqslant x＜20$时，$w = (-0.5x + 38 - 18)(4x + 16)=-2(x - 18)^{2}+968$，
∴当$x = 18$时，$w$最大为$968$；
②当$20\leqslant x\leqslant30$时，$w = (25 - 18)(4x + 16)=28x + 112$，
∵$28＞0$，$w$随$x$的增大而增大，
∴当$x = 30$时，$w$最大为$952$.
综上可知，销售蓝莓第$18$天时，当天的利润最大，最大利润为$968$元.

6 如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点E的坐标为$(-\frac{3}{2},-10)$，运动员(将运动员看成一点)在空中运动的路线是经过原点O的抛物线，在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处点A的坐标为$(1,\frac{5}{4})$，正常情况下，运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾，打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误，运动员入水后，运动路线为另一条抛物线.
(1)求运动员在空中运动时对应抛物线的函数表达式并求出入水处B的坐标.
(2)若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为5米，问：该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由.
(3)在该运动员入水点的正前方有M，N两点，且$EM=\frac{21}{2}$，$EN=\frac{27}{2}$，该运动员入水后运动路线对应的抛物线函数表达式为$y = a(x - h)^{2}+k$，且顶点C距水面4米，若该运动员出水点D在MN之间(包括M，N两点)，求a的取值范围.

答案：
(1)设抛物线的函数表达式为$y = a_{0}(x - 1)^{2}+\frac{5}{4}$，
把$(0,0)$代入函数表达式，得$a_{0}=-\frac{5}{4}$，
∴抛物线的函数表达式为$y = -\frac{5}{4}(x - 1)^{2}+\frac{5}{4}$.
令$y = -10$，则$-10 = -\frac{5}{4}(x - 1)^{2}+\frac{5}{4}$，
解得$x_{1}=-2$(舍去)，$x_{2}=4$.故点$B$的坐标为$(4,-10)$.
(2)当距点$E$水平距离为$5$时，对应的横坐标为$-\frac{3}{2}+5=\frac{7}{2}$，将$x = \frac{7}{2}$代入函数表达式，得$y = -\frac{5}{4}\times(\frac{7}{2}-1)^{2}+\frac{5}{4}=-\frac{105}{16}$.
∵$\frac{105}{16}-(-10)=\frac{55}{16}＜5$，
∴该运动员此次跳水失误了.
(3)
∵$EM=\frac{21}{2}$，$EN=\frac{27}{2}$，点$E$的坐标为$(-\frac{3}{2},-10)$，
∴点$M$，$N$的坐标分别为$(9,-10)$，$(12,-10)$.
∵该运动员入水后运动路线对应的抛物线函数表达式为$y = a(x - h)^{2}+k$，顶点$C$的纵坐标为$-14$，
∴当抛物线过点$M$时，$y = a(x-\frac{13}{2})^{2}-14$，
把$M(9,-10)$代入，得$a = \frac{16}{25}$.
同理，当抛物线经过点$N(12,-10)$时，$a = \frac{1}{4}$.
故当点$D$在$MN$之间时，$a$的取值范围为$\frac{1}{4}\leqslant a\leqslant\frac{16}{25}$.