《2025年1课3练江苏人民出版社九年级数学下册北师大版》

1 教材P42例1·改编 关于x的二次函数y=(a - 2)x²+bx+a² - 4的图象过原点，则a的值为（ ）.
A. -2
B. 2
C. ±2
D. 0

答案： A

2 (2024·南通海安一模)设函数y=a(x + m)²+n（a≠0，m，n是实数），当x = 1时，y = 1；当x = 6时，y = 6，则（ ）.
A. 若m = -3，则a＜0
B. 若m = -4，则a＞0
C. 若m = -5，则a＜0
D. 若m = -6，则a＞0

答案： C

3 原创素养题 推理能力 抛物线y = -x²+bx + c的顶点的横坐标为1，与y轴交于(0，-1)，则函数表达式为____________.

答案： y = -x² + 2x - 1

4 教材P43随堂练习T2·变式 已知关于x的二次函数y = x²-(m - 1)x + m，其中m为实数.
(1)若点A(-2，n)，B(6，n)均在该二次函数的图象上，则m的值为________.
(2)设该二次函数图象的顶点坐标为(p，q)，则q关于p的函数表达式为________.

答案：
(1)5 [解析]
∵点A(-2,n)，B(6,n)均在该二次函数的图象上，
∴点A，B关于抛物线对称轴对称，
∴抛物线的对称轴为直线x = (-2 + 6) / 2 = 2，
即 -(-(m - 1)) / 2 = 2，解得m = 5.
(2)q = -p² + 2p + 1 [解析]
∵y = x² - (m - 1)x + m = (x - (m - 1) / 2)² + (-m² + 6m - 1) / 4，
∴抛物线的顶点坐标为((m - 1) / 2, (-m² + 6m - 1) / 4)，
根据题意，得p = (m - 1) / 2，q = (-m² + 6m - 1) / 4，
∴m = 2p + 1，代入q = (-m² + 6m - 1) / 4，得
q = (-m² + 6m - 1) / 4 = (-(2p + 1)² + 6(2p + 1) - 1) / 4 = -p² + 2p + 1.

5 已知抛物线y = 2x²+bx + c过点(1，3)和(-1，5)，求该抛物线的表达式.

答案：
∵抛物线y = 2x² + bx + c过点(1,3)和(-1,5)，
∴{2 + b + c = 3, 2 - b + c = 5}，解得{b = -1, c = 2}，
∴抛物线的表达式为y = 2x² - x + 2.

6 教材P43随堂练习T1·改编 (2024·河北保定涿州月考)顶点为(-5，-1)，且开口方向、形状与函数y = -$\frac{1}{3}$x²的图象相同的抛物线是（ ）.
A. y = $\frac{1}{3}$(x - 5)²+1
B. y = -$\frac{1}{3}$x² - 5
C. y = -$\frac{1}{3}$(x + 5)² - 1
D. y = $\frac{1}{3}$(x + 5)² - 1

答案： C

7 在平面直角坐标系中，将二次函数y = 2x²的图象平移后经过点(0，-2)和点(2，0)，则所得抛物线对应的函数表达式为（ ）.
A. y = 2x² - 3x - 2
B. y = 2x²+3x - 2
C. y = 2(x - 2)²+2
D. y = 2(x + 2)² - 2

答案： A

8 教材P45习题T2·改编 小聪在画一个二次函数的图象时，列出了下面几组y与x的对应值：
　　　　　　　　
该二次函数的表达式是____________.

答案： y = (x - 3)² - 4(或y = x² - 6x + 5)

9 (2024·扬州中考)如图，已知二次函数y = -x²+bx + c的图象与x轴交于A(-2，0)，B(1，0)两点.
(1)求b，c的值；
(2)若点P在该二次函数的图象上，且△PAB的面积为6，求点P的坐标.
　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案：

(1)二次函数y = -x² + bx + c的图象与x轴交于A(-2,0)，B(1,0)两点，
∴{-4 - 2b + c = 0, -1 + b + c = 0}，解得{b = -1, c = 2}，
∴b = -1，c = 2.
(2)由
(1)可知二次函数表达式为y = -x² - x + 2.
∵A(-2,0)，B(1,0)，
∴AB = 1 - (-2) = 3.
设P(m,n)，
∴S△PAB = 1 / 2 × AB × |n| = 6，
∴|n| = 4，
∴n = ±4，
∴当 -x² - x + 2 = 4时，Δ = 1 - 8 = -7 ＜ 0，无解，不符合题意，舍去；
当 -x² - x + 2 = -4时，x1 = -3，x2 = 2，
∴P1(2,-4)，P2(-3,-4).
思路引导 本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握用待定系数法求表达式，解一元二次方程的方法是解题的关键.
(1)运用待定系数法即可求解；
(2)根据题意设P(m,n)，结合几何图形面积计算方法可得点P的纵坐标，代入后解一元二次方程即可求解.