《2025年1课3练江苏人民出版社九年级数学下册北师大版》

1 教材P10习题T1·变式(2024·天津河北区二模)$\sqrt{3}\cos30^{\circ}$的值是( )．
A. $\frac{1}{2}$
B. 1
C. $\frac{3}{2}$
D. 3

答案： C

2 (2024·济宁二模)在△ABC中，∠A=105°，∠B=45°，cos C的值是( )．
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
D. $\sqrt{3}$

答案： C

3 如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则sin∠AOC的值为( )．
A. $\frac{1}{2}$ B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
　

答案： D

4 教材P8做一做·改编 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则sin B=________，tan A=________．

答案： $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$

5 如图，将三角板的直角顶点放置在直线AB上的点O处，使斜边CD//AB，则∠α的正切值为________．
　

答案： $\sqrt{3}$

6 教材P9例2·变式(2024·宜昌宜都二模)如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未受损.已知该金字塔的下底面是一个边长为200 m的正方形，且每一个侧面与地面成60°角，则金字塔原来的高度为( )．
A. 50 m B. 50$\sqrt{3}$ m
C. 100 m D. 100$\sqrt{3}$ m
　

答案：
D [解析]如图.

∵该金字塔的下底面是一个边长为200 m的正方形，
∴$BC=\frac{1}{2}\times200 = 100$(m).
∵$AC\perp BC$，
∴$\angle ACB = 90^{\circ}$.
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ABC = 60^{\circ}$，
∴$AC = BC\cdot\tan60^{\circ}=100\times\sqrt{3}=100\sqrt{3}$(m).
故金字塔原来的高度为$100\sqrt{3}$m. 故选D.

7 原创素养题 运算能力 若sin α是一元二次方程$x^{2}-\frac{3\sqrt{3}}{2}x+\frac{3}{2}=0$的一个解，且α为锐角，则α=________．

答案： 60°

8 (湖北武汉中学自主招生)在△ABC中，若$(\cos A-\frac{1}{2})^{2}+|1-\tan B|=0$，则∠C的大小是________．

答案： 75° [解析]
∵$(\cos A-\frac{1}{2})^2+\vert1 - \tan B\vert = 0$，
∴$\cos A-\frac{1}{2}=0$，$1 - \tan B = 0$，
则$\cos A=\frac{1}{2}$，$\tan B = 1$，
∴$\angle A = 60^{\circ}$，$\angle B = 45^{\circ}$，
∴$\angle C = 180^{\circ}-60^{\circ}-45^{\circ}=75^{\circ}$.
思路引导 利用非负数的性质结合特殊角的三角函数值得出$\angle A$，$\angle B$的度数，即可得出答案.

9 教材P8例1·改编 求下列各式的值：
(1)$|1-\sqrt{3}|+(2024-\pi)^{0}+(-\frac{1}{2})^{-2}-\tan60^{\circ}$；
(2)$\frac{2\sin60^{\circ}}{2\sin45^{\circ}+\tan45^{\circ}}-\frac{4\cos^{2}30^{\circ}}{\tan30^{\circ}}$．

答案：
(1)原式$=\sqrt{3}-1 + 1+4-\sqrt{3}=4$.
(2)原式$=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1}-\frac{4\times\frac{3}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{\sqrt{3}(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}{\sqrt{2}+1}-3\sqrt{3}=\sqrt{6}-\sqrt{3}-3\sqrt{3}=\sqrt{6}-4\sqrt{3}$.

10 教材P9随堂练习T1·变式 已知α为锐角，$\sin(\alpha +15^{\circ})=\frac{\sqrt{3}}{2}$，计算$\sqrt{8}-4\cos\alpha+\tan\alpha+(\frac{1}{3})^{-1}$的值.

答案：
∵$\sin(\alpha + 15^{\circ})=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\alpha = 45^{\circ}$，
∴$\sqrt{8}-4\cos\alpha+\tan\alpha+(\frac{1}{3})^{-1}=2\sqrt{2}-2\sqrt{2}+1 + 3=4$.