《2025年1课3练江苏人民出版社九年级数学下册北师大版》

1 (2024·吉林长春德惠期末)若关于x的一元二次方程$x^{2}+bx + c = 0$的两个实数根分别为$x_{1} = - 1$，$x_{2} = 2$，那么抛物线$y = x^{2}+bx + c$的对称轴为直线(　　　)．
A. $x = 1$　　　　　　
　B. $x=\frac{1}{2}$
C. $x=\frac{3}{2}$　　　　　　
　D. $x=-\frac{1}{2}$

答案： B [解析]
∵一元二次方程的两个根为$x_1 = -1,x_2 = 2$,
∴二次函数的对称轴为直线$x=\frac{x_1 + x_2}{2}=\frac{1}{2}$. 故选B.
知识拓展 ①二次函数$y = ax^2 + bx + c(a\neq0)$的图象与$x$轴的交点的横坐标$x_1,x_2$就是一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a\neq0)$的两个根;反之,一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a\neq0)$的两个根$x_1,x_2$就是二次函数$y = ax^2 + bx + c(a\neq0)$的图象与$x$轴的交点的横坐标. 因此我们可以通过解方程$ax^2 + bx + c = 0$来求抛物线$y = ax^2 + bx + c$与$x$轴交点的坐标;反过来,也可以由$y = ax^2 + bx + c$的图象来求一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$的解. ②若抛物线上对称的两点的横坐标分别为$x_1,x_2$,则抛物线的对称轴为直线$x=\frac{x_1 + x_2}{2}$.

2 教材P51议一议·改编 若二次函数$y = ax^{2}-2ax + c$的图象经过点(-1,0)，则方程$ax^{2}-2ax + c = 0$的解为(　　　)．
A. $x_{1} = - 3$，$x_{2} = - 1$
　B. $x_{1} = 1$，$x_{2} = 3$
C. $x_{1} = - 1$，$x_{2} = 3$　
　D. $x_{1} = - 3$，$x_{2} = 1$

答案： C

3 教材P53习题T3·变式 (2024·山东德州禹城张庄中学月考)若二次函数$y = x^{2}-mx$的对称轴是直线$x = - 3$，则关于x的方程$x^{2}+mx = 7$的解为(　　　)．
A. $x_{1} = 0$，$x_{2} = 6$　　
　B. $x_{1} = 1$，$x_{2} = 7$
C. $x_{1} = 1$，$x_{2} = - 7$　
　D. $x_{1} = - 1$，$x_{2} = 7$

答案： D

4 教材P52随堂练习·变式 如图，若被击打的小球距离地面的高度h(m)与被击打后经过的时间t(s)的关系为$h = 24t-4t^{2}$，则小球从被击打到落地所用的时间为_______．
　　　　

答案： 6 s

5 新情境 喷水景观 小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状如图(1)，她对此展开研究：测得喷水头P距地面1m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.5m；建立如图(2)所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为$y = a(x - h)^{2}+k$，其中x(m)是水柱距喷水头的水平距离，y(m)是水柱距地面的高度.
(1)求抛物线的表达式；
(2)小红站在水柱正下方且距喷水头P水平距离4m，身高1.9m的哥哥在水柱下方走动，当哥哥的头顶恰好接触到水柱时，求小红与哥哥的水平距离.
　　

答案：
(1)由题意知,抛物线顶点坐标为$(5,3.5)$,设抛物线的表达式为$y = a(x - 5)^2 + 3.5$,将$(0,1)$代入,得$1 = 25a + 3.5$,解得$a = -\frac{1}{10}$,
$\therefore y = -\frac{1}{10}(x - 5)^2 + 3.5 = -\frac{1}{10}x^2 + x + 1$.
故抛物线的表达式为$y = -\frac{1}{10}x^2 + x + 1$.
(2)当$y = 1.9$时,$-\frac{1}{10}x^2 + x + 1 = 1.9$,
解得$x = 1$或$x = 9$,
$\therefore$她与哥哥的水平距离为$4 - 1 = 3(m)$或$9 - 4 = 5(m)$.
故当哥哥的头顶恰好接触到水柱时,小红与哥哥的水平距离是3 m或5 m.

6 教材P53习题T2·改编 关于二次函数$y = x^{2}+bx - 1$(b为常数)与x轴交点的情况说法正确的是(　　　)．
A. 有一个交点　　　
　B. 有两个交点
C. 无交点　　　　　
　D. 有一个交点是(1,0)

答案： B

7 教材P52习题T1·变式 (2023·郴州中考)已知抛物线$y = x^{2}-6x + m$与x轴有且只有一个交点，则$m =$_______．

答案： 9 [解析]
∵抛物线$y = x^2 - 6x + m$与$x$轴有且只有一个交点,
∴方程$x^2 - 6x + m = 0$有唯一解,即$\Delta = b^2 - 4ac = 36 - 4m = 0$,解得$m = 9$.
归纳总结 抛物线$y = ax^2 + bx + c$和$x$轴的交点:当$\Delta = b^2 - 4ac＞0$时,抛物线与$x$轴有2个交点;当$\Delta = b^2 - 4ac = 0$时,抛物线与$x$轴有1个交点;当$\Delta = b^2 - 4ac＜0$时,抛物线与$x$轴没有交点.

8 (2024·西安碑林区一模)若抛物线$y = x^{2}-2ax + a^{2}-2a + 3$(a为常数)与x轴有两个交点，则此抛物线的顶点位于(　　)．
A. 第一象限　　　　
　B. 第二象限
C. 第三象限　　　　
　D. 第四象限

答案： D