《2025年1课3练江苏人民出版社九年级数学下册北师大版》

8 (2024·恩施州二模)二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a,b,c$是常数，且$a\neq0)$的自变量$x$与函数值$y$的部分对应值如下表：
　　　　
且当$x = -\frac{1}{2}$时，对应的函数值$y＜0$，有以下结论：
①$abc＞0$；②关于$x$的方程$ax^{2}+bx + c = 0$的正实数根在$1$和$\frac{3}{2}$之间；③$m + 2n＜-10$；④点$P_1(t - 1,y_1)$和$P_2(t + 1,y_2)$在该二次函数的图象上，则当实数$t＞\frac{3}{4}$时，$y_1＞y_2$．
其中正确的结论有( )．
A. $1$个
B. $2$个
C. $3$个
D. $4$个

答案： C　[解析]
∵当$x = 0$和$x = 1$时，$y = 2$，
∴对称轴为直线$x = \frac{1}{2}$，
∴$-\frac{b}{2a}=\frac{1}{2}$，即$a = -b$.当$x = 0$时，$y = 2$，即$c = 2＞0$，
∴$abc＜0$，故①错误；
∵当$x = 0$和$x = 1$时，$y = 2$，当$x = -\frac{1}{2}$时，对应的函数值$y＜0$，
∴抛物线开口向下，根据对称性可得当$x = \frac{3}{2}$时，$y＜0$.
∵函数图象过点$(1,2)$，
∴关于$x$的方程$ax^{2}+bx + c = 0$的正实数根在$1$和$\frac{3}{2}$之间，故②正确；
∵$a = -b$，$c = 2$，
∴将$x = -1$与$x = 2$代入表达式，得$m = n = 2a + 2$，
∴$m + 2n = 6a + 6$.
∵当$x = -\frac{1}{2}$时，对应的函数值$y＜0$，
∴$\frac{1}{4}a-\frac{1}{2}b + 2＜0$，即$\frac{3}{4}a + 2＜0$，解得$a＜-\frac{8}{3}$，
∴$m + 2n = 6a + 6＜-10$，故③正确；
　④
∵函数过点$(1,2)$，且当$x = \frac{3}{2}$时，对应的函数值$y＜0$，
∴可以判断抛物线开口向下.
　当$P_{1}$在抛物线的对称轴右侧时，$P_{2}$恒在抛物线的对称轴右侧，此时$y_{1}＞y_{2}$恒成立，
∴$P_{1}$的横坐标大于等于对称轴对应的$x$，即$t - 1\geqslant\frac{1}{2}$，解得$t\geqslant\frac{3}{2}$；
　当$P_{1}$与$P_{2}$在抛物线的对称轴异侧时，根据抛物线的性质，当$P_{1}$的横坐标到对称轴的距离小于$P_{2}$的横坐标到对称轴的距离时，满足$y_{1}＞y_{2}$，
即当$\begin{cases}t - 1＜\frac{1}{2}\\t + 1＞\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}-(t - 1)＜t + 1-\frac{1}{2}\end{cases}$时，满足$y_{1}＞y_{2}$，
　解得$\frac{1}{2}＜t＜\frac{3}{2}$，
　综上所述，当$t＞\frac{1}{2}$时，$y_{1}＞y_{2}$. 故④正确. 故选C.

9 (2024·贵州黔东南州期末)二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$中，自变量$x$与函数$y$的对应值如下表：
　
若$1＜m＜1.5$，则下面叙述正确的是( )．
A. 该函数图象开口向上
B. 该函数图象与$y$轴的交点在$x$轴的下方
C. 对称轴是直线$x = m$
D. 若$x_1$是方程$ax^{2}+bx + c = 0$的正数解，则$2＜x_1＜3$

答案： D

10 抛物线$y = a(x - h)^{2}+k(a,h,k$是常数，$a＜0$，$0＜h＜\frac{1}{2})$过点$A(-1,0)$．下列四个结论：①$k＜0$；②该抛物线经过点$(2h + 1,0)$；③一元二次方程$a(x - h)^{2}+k = 0$的一个根在$1$和$2$之间；④点$P_1(x_1,y_1)$，$P_2(x_2,y_2)$在抛物线上，当实数$-1＜x_1＜2＜x_2$时，$y_1＞y_2$．其中正确的结论是______(填写序号)．

答案： ②③④

11 中考新考法 数形结合 在画二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的图象时，甲写错了一次项的系数，列表如下：
　　
乙写错了常数项，列表如下：
　　
通过上述信息，解决以下问题：
(1)求原二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的表达式；
(2)对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$，当$x$______时，$y$的值随$x$的值的增大而增大；
(3)若关于$x$的方程$ax^{2}+bx + c = k(a\neq0)$有两个不相等的实数根，求$k$的取值范围．

答案：
(1)由甲同学的错误可知$c = 3$，由甲同学提供的数据选$x = -1$，$y = 6$；$x = 1$，$y = 2$，得$\begin{cases}6 = a - b + 3\\2 = a + b + 3\end{cases}$，
　解得$\begin{cases}a = 1\\b = -2\end{cases}$.
　故由甲同学提供的数据，得$a = 1$，$c = 3$是正确的.
　由乙同学提供的数据选$x = 0$，$y = -1$，得$c = -1$，选$x = -1$，$y = -2$；$x = 1$，$y = 2$，得$\begin{cases}-2 = a - b - 1\\2 = a + b - 1\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 1\\b = 2\end{cases}$，故由乙同学提供的数据，得$a = 1$，$b = 2$是正确的.
∴$a = 1$，$b = 2$，$c = 3$.
∴$y = x^{2}+2x + 3$.
(2)$\geqslant -1$
(3)$k＞2$.