《2025年1课3练江苏人民出版社九年级数学下册北师大版》

3 (2023·牡丹江中考)将抛物线y=(x + 3)²向下平移1个单位长度，再向右平移______个单位长度后，得到的新抛物线经过原点。

答案： 2或4

4 二次函数y=ax²+bx+c图象上部分点的横纵坐标x，y的对应值如表：

(1)求二次函数的表达式和对称轴；
(2)表中的m=______，n=______；
(3)若P(-2024，y₁)，Q(2025，y₂)是这个函数图象上的两点，则y₁______y₂（填“＞”“=”或“＜”）；
(4)写出这个函数图象绕顶点旋转180°后的函数表达式：__________。

答案：
(1)将$(-2,-4)$，$(-1,-3)$，$(0,-4)$代入$y = ax^{2}+bx + c$，
　得$\begin{cases}4a - 2b + c = - 4\\a - b + c = - 3\\c = - 4\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = - 1\\b = - 2\\c = - 4\end{cases}$，
　$\therefore$二次函数的表达式为$y=-x^{2}-2x - 4=-(x + 1)^{2}-3$，$\therefore$对称轴为直线$x = - 1$。
(2)3 -12 [解析]由
(1)知函数表达式为$y=-x^{2}-2x - 4$，当$x = 2$时，$n = - 12$，
　当$y = - 19$时，$-19=-x^{2}-2x - 4$，
　解得$m = 3$或$-5$(舍去)，$\therefore m = 3$。
(3)$\gt$ [解析]$\because$二次函数表达式为$y=-x^{2}-2x - 4$，$a = - 1\lt0$，$\therefore$图象开口向下，
　$\therefore$自变量距离对称轴越远，对应的函数值越小。
　$\because$对称轴为直线$x = - 1$，
　$\therefore-1-(-2024)=2023$，$2025-(-1)=2026$。
　$\because2023\lt2026$，$\therefore y_{1}\gt y_{2}$。
(4)$y=(x + 1)^{2}-3$ [解析]$\because y=-x^{2}-2x - 4=-(x + 1)^{2}-3$。
　$\therefore$函数图象绕顶点旋转$180^{\circ}$后的函数表达式为$y=(x + 1)^{2}-3$。

5 已知抛物线y=x²+bx - 3(b是常数)经过点A(-1，0)。
(1)抛物线的表达式为______；
(2)P(m，t)为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P'，当点P'落在第二象限时，P'A²取得最小值时，求m的值。

答案：
(1)$y = x^{2}-2x - 3$ [解析]把$A(-1,0)$代入$y = x^{2}+bx - 3$，得$0 = 1 - b - 3$，解得$b = - 2$，即抛物线的表达式为$y = x^{2}-2x - 3$。
(2)由题意，可知$P'(-m,-t)$在第二象限，$P(m,t)$在第四象限，$\therefore m\gt0$，$t\lt0$。
　$\because$抛物线的顶点坐标为$(1,-4)$，$\therefore-4\leqslant t\lt0$。
　$\because$点$P$在抛物线上，$\therefore t = m^{2}-2m - 3$，
　$\therefore m^{2}-2m=t + 3$。
　$\because A(-1,0)$，$P'(-m,-t)$，
　$\therefore P'A^{2}=(-m + 1)^{2}+(-t)^{2}=m^{2}-2m + 1 + t^{2}=t^{2}+t + 4=(t+\frac{1}{2})^{2}+\frac{15}{4}$，
　$\therefore$当$t = -\frac{1}{2}$时，$P'A^{2}$有最小值，
　$\therefore-\frac{1}{2}=m^{2}-2m - 3$，
　解得$m=\frac{2-\sqrt{14}}{2}$或$m=\frac{2+\sqrt{14}}{2}$。
　$\because m\gt0$，$\therefore m=\frac{2-\sqrt{14}}{2}$不合题意，舍去，
　$\therefore m$的值为$\frac{2+\sqrt{14}}{2}$。

6 中考新考法 存在性问题探究 如图(1)，抛物线y=-x²+bx+3与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点B坐标为(6，0)，点D为线段OB上一点，点E为抛物线上一动点。
(1)求b的值。
(2)点D坐标为(3，0)，点E在第一象限的抛物线上，设△ECD的面积为S，求S的最大值。
(3)如图(2)，点D坐标为(4，0)，是否存在点E，使∠ABE=∠ODC，若存在，请求出点E坐标；若不存在，说明理由。

答案：
(1)将点$B(6,0)$代入抛物线函数表达式，
　得$0=-36 + 6b + 3$，解得$b=\frac{11}{2}$。
(2)由
(1)知，抛物线的函数表达式为$y=-x^{2}+\frac{11}{2}x + 3$ ①，由抛物线的函数表达式知$OC = 3$。
　如图，过点$E$分别作$x$轴，$y$轴的垂线，垂足分别为$H$，$N$，连接$OE$。
　设点$E$坐标为$(x,-x^{2}+\frac{11}{2}x + 3)$，
　则$S = S_{四边形OCED}-S_{\triangle OCD}=\frac{1}{2}OC\cdot NE+\frac{1}{2}OD\cdot EH-\frac{1}{2}\times3\times3=\frac{1}{2}\times3\times x+\frac{1}{2}\times3\times(-x^{2}+\frac{11}{2}x + 3)-\frac{9}{2}=-\frac{3}{2}x^{2}+\frac{39}{4}x$。$\because-\frac{3}{2}\lt0$，$\therefore S$有最大值。当$x=\frac{13}{4}$时，$S$的最大值为$\frac{507}{32}$。
(3)由点$C$，$D$的坐标，得直线$CD$的函数表达式为$y = -\frac{3}{4}x + 3$。
　当点$E$在$x$轴上方时，
　$\because\angle ABE=\angle ODC$，$\therefore BE// CD$，$\therefore$直线$BE$的函数表达式为$y = -\frac{3}{4}(x - 6)$②。
　联立①②，得$-\frac{3}{4}(x - 6)=-x^{2}+\frac{11}{2}x + 3$，
　解得$x = 6$(舍去)或$x=\frac{1}{4}$，故点$E$坐标为$(\frac{1}{4},\frac{69}{16})$；
　当点$E$在$x$轴下方时，根据函数的对称性，则直线$BE$的函数表达式为$y=\frac{3}{4}(x - 6)$③，
　联立①③，得$\frac{3}{4}(x - 6)=-x^{2}+\frac{11}{2}x + 3$，
　解得$x = 6$(舍去)或$-\frac{5}{4}$，
　故点$E$坐标为$(-\frac{5}{4},-\frac{87}{16})$。
　综上，点$E$的坐标为$(\frac{1}{4},\frac{69}{16})$或$(-\frac{5}{4},-\frac{87}{16})$。